Este libro ha surgido de las clases de álgebra y geometría que se han impartido ya hace diversos años en la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de Madrid. En él se pretende que el lector infiera los resultados en general desde diversos ejemplos y que éstos sirvan a la vez para ilustrar la demostración de aquéllos. Por los varios inconvenientes resueltos y sin solucionar, este libro puede utilizarse tanto en el primer curso de las facultades de ciencias como en las escuelas de ingeniería.
INDICE
CAPITULO 1: RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. OPERACIONES CON MATRICES
1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: procedimiento de supresión de Gauss
1.2. Rango de una matriz. Composición de las resoluciones de un sistema
1.3. Aplicaciones lineales de IR n en IR m y operaciones con matrices
1.4. Inversa de una aplicación e inversa de una matriz
CAPÍTULO 2: DETERMINANTES Y SUS APLICACIONES
2.1. Determinantes de matrices de orden 2 y 3
2.2. Definición general de determinante. Características.
2.3. Determinante de un producto de matrices. Cálculo de determinantes de orden n
2.4. Inversa de una matriz. Regla de Cramer
2.5. Rango de una matriz. Resolución de sistemas compatibles e indeterminados
2.6. Determinantes y permutaciones
CAPÍTULO 3: LA GEOMETRIA DEL PLANO Y DEL ESPACIO
3.1. Rectas en un plano
3.2. Rectas y planos en el espacio
3.3. Distancias y ángulo. Producto escalar
3.4. Figuras en el plano y en el espacio.
3.5. Areas y volúmenes. Producto vectorial
CAPÍTULO 4: LOS NUMEROS Complicados
4.1. Los números complicados y sus características
4.2. Maneras trigonométrica y polar de un número complejo
4.3. Raíces de números com plejos
4.4. Resolución de ecuaciones algebraicas
4.5. Ejercicios de álgebra lineal con números com ple jos
CAPÍTULO 5: ESPACIOS VECTORIALES
5.1. Definición de espacio vectorial. Ejemplos
5.2. Base y magnitud de un lugar vectorial
5.3. Cambio de base
5.4. Subespacios vectoriales. Intersección y suma de subespacios vectoriales
5.5. Variedades lineales. Espacio a fín
CAPÍTULO 6: APLICACIONES LINEALES ENTRE ESPACIOS VECTORIALES
6.1. Definición de aplicación lineal. Ejemplos
6.2. Matriz de una aplicación lineal. Operaciones con aplicaciones lineales
6.3. Cambio de base para aplicaciones lineales
6.4. Aplicaciones lineales inyectivas y suprayectivas. Núcleo y rango de una aplicación lineal
6.5. El espacio dual de un lugar vectorial
CAPÍTULO 7: VALORES Y VECTORES PROPIOS. FORMA DE JORDAN
7.1. Introducción
7.2. Subespacios invariantes. Valores y vectores propio de una aplicación lineal
7.3. Forma de Jordán de matrices de orden 2
7.4. Forma de Jordán de matrices de orden 3
7.5. Aplicaciones lineales y subespacios invariantes
7.6. Teorema de categorización de Jordán.
7.7. Obtención de la manera de Jordan de una matriz
7.8. Forma de Jordan real de matrices reales con autovalores complicados
7.9. El teorema de Cayley-Hamilton
EJERCICIOS DE REPASO: CAPITULOS 1 A 7
CAPÍTULO 8: ESPACIOS EUCLIDEOS
8.1. Definición de espacio euclideo. Ejemplos
8.2. Longitudes, superficies y ortogonalidad
8.3. Bases ortonormales en un lugar euclideo
8.4. Complemento ortogonal. Proyecciones
8.5. Adjunta de una aplicación
8.6. Aplicaciones autoadjuntas
8.7. Aplicaciones ortogonales: parte I
8.8. Aplicaciones ortogonales: parte II
8.9. Composición de las aplicaciones lineales no singulares
CAPÍTULO 9: ESPACIOS HERMITICOS
9.1. Producto hermítico
9.2. Aplicaciones entre espacios hermíticos
CAPÍTULO 10: MOVIMIENTOS EN Un lugar A F IN EUCLIDEO. MOVIMIENTOS EN R2
10.1. Transformaciones afines. Ejemplos
10.2. Movimientos en el plano
10.3. Análisis analítico de los movimientos en R2
10.4. Movimientos en el espacio
10.5. Movimientos en IB3. Ejemplos
CAPÍTULO 11: SECCIONES CONICAS
11.1. Definiciones.
11.2. La circunferencia y alguna de sus características
11.3. La elipse y la hipérbola
11.4. Nueva definición de las secciones canónicas: la elipse, la hipérbola y la parábola
11.5. Ecuaciones de las cónicas en un sistema de coordenadas cartesiano
11.6. Decisión de las cónicas
11.7. Decisión del tipo de una cónica
11.8. Invariantes de las cónicas y reducción a su forma canónica.
11.9. Decisión del centro y de los ejes primordiales de una cónica con centro
11.10. Decisión del vértice y del eje de una parábola
CAPÍTULO 12: Maneras BILINEALES Y CUADRATICAS
12.1. Definiciones
12.2. Maneras bilineales y cuadráticas en un lugar euclídeo
12.3. Ley de inercia de las maneras cuadráticas
12.4. Maneras cuadráticas definidas. Puntos de vista críticos de funcionalidades de numerosas cambiantes
12.5. Diagonalización simultánea de maneras cuadráticas
CAPITULO 13: áreas DE SEGUNDO Nivel
13.1. Categorización de las áreas de segundo nivel
13.2. Invariantes de las áreas de segundo nivel en R3
13.3. Decisión de los recursos geométricos de varias cuádricas
13.4. Notas extras
1. El hiperboloide de una hoja como área reglada
2. Categorización de las cuádricas una vez que A = 0 y 8 = 0
