Orden de operaciones

Requerimos un grupo de reglas habituales para hacer cálculos. Hace varios años, los matemáticos desarrollaron un orden de operaciones estándar que nos sugiere qué operaciones hacer primero en una expresión con bastante más de una operación. Sin un método estándar para hacer cálculos, 2 personas podrían obtener diferentes resultados para el mismo problema. Ejemplificando, 3+5•3 tiene solamente una contestación adecuada. ¿Es 18 o 24?

El orden de las operaciones suma, resta, multiplicación y separación

Primero, estima expresiones que incluyan una o más operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y separación. El orden de operaciones necesita que cada una de las multiplicaciones y divisiones se hagan primero, yendo de izquierda a derecha en la expresión. El orden en el que se calculan la multiplicación y separación está definido por cuál surge primero, de izquierda a derecha.

Luego que se han completado la multiplicación y la separación, suma y resta en orden de izquierda a derecha. El orden además está definido por la que surge primero de izquierda a derecha.

Luego, hay 3 ejemplos demostrando el orden apropiado de operaciones para expresiones con suma, resta, multiplicación, y división.

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Ejemplo 1

Simplifica 3+5•3.                   

3+5•3              El orden de operaciones te plantea que hagas la multiplicación previamente que la suma.

3 + 15 Ahora suma.  

Respuesta   18

Ejemplo 2

Simplifica 20–30÷5.              

20–30÷5

El orden de operaciones te plantea que hagas la separación previamente que la resta.

20–6

Respuesta  14

Ejemplo 3

Simplifica 60 – 30 ÷ 3 • 5 + 9.                      

60 – 30 ÷ 3 • 5 + 9

El orden de operaciones te plantea que hagas la multiplicación y la separación primero, de izquierda a derecha, anterior a hacer la suma y la resta.

60–10•5+9

60 –50+9

Continúa realizando la multiplicación y la separación de izquierda a derecha.     

Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. (Nota que la suma no se hace precisamente anteriormente que la resta.) 

Respuesta 19

Agrupación de símbolos y el orden de operaciones

Símbolos de agrupación como paréntesis ( ), llaves  , corchetes [ ], y barras de parte tienen la posibilidad de usarse para el control de todavía más el orden de las 4 operaciones aritméticas primordiales. Las normas del orden de operaciones necesitan que se haga primero el cálculo en los símbolos de agrupación, inclusive si estás sumando o restando en los símbolos de agrupación y tienes multiplicaciones afuera de éstos símbolos. Luego de calcular en los símbolos de agrupación, divide o multiplica de izquierda a derecha y después resta o suma de izquierda a derecha.

Ejemplo 4

Simplifica 9000 ÷ (6 + 3 • 8) – 18.

9000 ÷ (6 + 3 • 8) – 18

El orden de operaciones te plantea que hagas primero lo cual hay en los paréntesis.

9000÷(6+3•8)–18

9000÷(6+24)–18

Simplifica la expresión en los paréntesis. Primero multiplica.        

9000÷30–18

Luego 

300–18

Ahora ejecuta la separación; después resta

Respuesta  282

Ejemplo 5

Simplifica 8 – 3[15 – 3 • 4 – (2 + 4)] ÷ 2.                 

8 – 3[15–3•4–(2 + 4)] ÷ 2       Hay llaves y paréntesis en éste problema. Calcula primero los que permanecen dentro del conjunto.  

8 – 3[15 – 3 • 4 – 6] ÷ 2          Simplifica en los paréntesis  

8 – 3[15 – 3 • 4 – 6] ÷ 2

8 – 3[15 – 12 – 6] ÷ 2

8 – 3[3 – 6] ÷ 2

8 – 3(-3) ÷ 2    Ahora, simplifica en las llaves multiplicando y después restando de izquierda a derecha

8 – 3(-3) ÷ 2

8 +9÷2

Respuesta  25/2

Rememora que los paréntesis además tienen la posibilidad de usarse para denotar una multiplicación. En el ejemplo siguiente, los paréntesis no son un signo de agrupación; son un signo de multiplicación. En éste caso, como el problema tiene solamente una multiplicación y una separación, calculamos de izquierda a derecha. Ten cuidado al decidir qué significan los paréntesis en un definido problema. ¿Son un signo de agrupación o un signo de multiplicación?

Realizando el orden de operaciones con exponentes y raíces cuadradas

Hasta ahora, nuestras propias normas nos permiten simplificar expresiones que tengan multiplicación, división, suma, resta o símbolos de agrupación. ¿Qué pasa si un problema tiene exponentes o raíces cuadradas?

Si la expresión tiene exponentes o raíces cuadradas, tienen que ejecutase luego de que lo hayan producido los símbolos de agrupación y hayan sido simplificados y anteriormente que cualquier multiplicación, división, suma y resta que se encuentre fuera del paréntesis o en otro conjunto de símbolos.

Nota que calculas de operaciones complicadas a operaciones primordiales. La suma y la resta son las operaciones más primordiales. Posiblemente las aprendiste primero, La multiplicación y la separación, aun cuando se repiten en la suma y en la resta, son más complicadas y vienen anteriormente que la multiplicación y la división en el orden de operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas se repiten y como son todavía más complicadas, tienen que advenir anterior a la suma y la resta en el orden de operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas permanecen reiteradas en la multiplicación y la división y como son más complicadas, se hacen previamente que la multiplicación y la separación.

Ejemplo 6

Simplifica 19 + 28 ÷ 2^2.                 

19 + 28 ÷ 2^2 Éste problema tiene suma, división, y exponentes. Usa el orden de operaciones

19 + 28 ÷ 4.   

19 + 7  Ejecuta la separación previamente que la suma.    

Respuesta  26

Ejemplo 7

Simplifica 3^2 • 2^3.                        

3^2 • 2^3         Éste problema tiene exponentes y multiplicación   

9 • 8    

Respuesta  72

 

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