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Matematicas 2021

Factorizacion

Ejercicios Factorizar

En matemáticas la factorización es una técnica que se basa en la descomposición en componentes de una expresión algebraica.

¿Cómo factorizar?

Para factorizar un número o descomponerlo en componentes efectuamos continuas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para hacer las divisiones usaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

En matemáticas la factorización es una técnica que se apoya en la descomposición en componentes de una expresión algebraica (que podría ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etcétera.) a modo de producto.

La factorización se apoya en descubrir números o polinomios que multiplicados nos proporcionan el número o polinomio original, respectivamente. Esta táctica de dividir en piezas más sencillas además aplica a la suma de números o polinomios.

La factorización o descomposición factorial es el proceso de exponer una expresión matemática o un número a modo de multiplicación. Recordemos que los componentes son los recursos de la multiplicación y el resultado se sabe como producto.

En líneas en general, tenemos la posibilidad de 2 tipos de factorización: la factorización de números completos y la factorización de expresiones algebraicas.

¿Cuáles son los diversos tipos de factorizacion?

Los tipos de factorización que hay son:

  • Diferencia de cuadrados.
  • Suma de cubos.
  • Diferencia de cubos.
  • Suma de potencias impares equivalentes.
  • Diferencia de potencias impares equivalentes.
  • Trinomio cuadrado perfecto.
  • Trinomio de la manera x²+bx+c.
  • Trinomio de la manera ax²+bx+c.

Factorización en números primos

Todo número completo se puede descomponer en sus componentes primos. Un número primo es ese que es divisible unicamente entre 1 y el mismo. Ejemplificando, el 2 unicamente se puede dividir entre 1 y 2.

Tenemos la posibilidad de descomponer un número dado X como la multiplicación de sus componentes primos. Ejemplificando, el número 525 está conformados por los números primos 5, 3 y 7.

5^2*3*7

Factorización de expresiones algebraicas

La finalidad de la factorización es llevar un polinomio difícil y expresarlo como el producto de sus componentes polinomiales básicas.

Se denominan componentes o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si otorgan como producto la primera expresión. Ejemplificando:

(X+3)(X+5)= X^2 + 8X + 15

Los componentes son:

(X+3) y (X+5)

Cómo factorizar

Una vez que hablamos de factorizar, tenemos la posibilidad de continuar las próximas sugerencias:

  1. Mirar si hay un componente común, es decir, si hay un elemento que se repita en los diferentes términos.
  2. Ordenar la expresión: algunas veces al reparar la expresión nos damos cuenta de las modalidades de factorización.
  3. Consultar si la expresión es factorizable: a veces estamos en presencia de expresiones que no tienen la posibilidad de ser descompuestas en componentes.
  4. Comprobar si los componentes hallados son paralelamente factorizables.

Pasos para encontrar el elemento común de un polinomio

El componente común de un polinomio es el paso anterior a la factorización de un polinomio. Vamos a describir paso a paso cómo descubrir el elemento común del siguiente polinomio:

24x^8*y^3 – 16x^6*y^7*z^3

Paso 1

Conseguimos el más grande componente común de 24 y 16. Los componentes de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los componentes del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El más grande elemento común es el 8.

Paso 2

Conseguimos los componentes habituales de las cambiantes, en esta situación las cambiantes habituales con la más grande potencia común. Las cambiantes usuales son x y y. La más grande potencia común de x es x6 y la más grande potencia común de y es y3.

Paso 3

Escribimos el elemento común del polinomio como el producto de los pasos 1 y 2.

8x^6*y^3

Factorización de polinomios

Ya conocemos el componente común del polinomio, por lo cual tenemos la posibilidad de pasar a factorizar:

24x^8*y^3 – 16x^6*y^7*z^3

Paso 1

Determinamos el elemento común del polinomio:

8x^6*y^3

Paso 2

Reescribimos cada término del polinomio en funcionalidad del componente común. Para esto dividimos primero el concepto entre el componente común para obtener un segundo componente:

(24x^8*y^3)/(8x^6*y^3)= 2x^2

(16x^6*y^7*z^3)/(8x^6*y^3)= 2y^4*z^3

Ahora sustituimos cada término por el elemento común y el segundo componente respectivo:

(24x^8*y^3)=(3x^2)*(8x^6*y^3)

(16x^6*y^7*z^3)=(2y^4*z^2)*(8x^6*y^3)

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para sacar el componente común:

(3x^2 – 2y^4*z^2)*(8x^6*y^3)

Paso 4

Revisamos los pasos hechos:

24x^8*y^3 – 16x^6*y^7*z^3 = (3x^2 – 2y^4*z^2)*(8x^6*y^3)

Factorizar una ecuación cuadrática

Una vez que poseemos un polinomio de 3 términos, este podría ser un trinomio cuadrático de la manera ax^2+bx+c. Esta expresión se recibe de la multiplicación de 2 binomios:

Al factorizar una ecuación cuadrática como x^2+9x+14, deseamos lograr ambos binomios que lo originaron: (x+7)(x+2).

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es ese donde el costo absoluto del coeficiente b es equivalente al doble del producto de las raíces de a y c:

Por ejemplo, en la ecuación X^2+22X+20, a=6, b=22, c=20, entonces:

Esto sugiere que 4x^2-20x+25 puede factorizar como el cuadrado de un binomio:

A partir de la siguiente fórmula:

X= +/- b + (b^2 -4ac)/2a

Reemplazando los valores llegaremos a tener:

X= -22 +/- Raiz((22^2 -4*1*20))/2*1

X= -22 +/- Raiz((484 -4*1*20))/2*1

X= -22 +/- Raiz((484 -80))/2*1

X= -22 +/- Raiz((404))/2

X= -22 + Raiz((404))/2

X= -22 – Raiz((404))/2

 

 

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