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Matematicas 2021

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

2 ecuaciones con 2 incógnitas conforman un sistema, una vez que lo cual pretendemos de ellas es descubrir su solución común.

a1x+b1y=c1

a2x+b2y=c2

La solución de un sistema es dos números x1,y1, tales que reemplazando x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez las dos ecuaciones.

Sistemas iguales

2 sistemas de ecuaciones son iguales una vez que poseen la misma solución.

Criterios de equivalencia

1 Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número diferente de cero, el sistema resultante es equivalente.

3 Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es igual al dado.

4 Sin en un sistema se suple una ecuación por otra que resulte de sumar ambas ecuaciones del sistema antes multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5 Si se cambia el orden de las ecuaciones o incógnitas, resulta un sistema equivalente.

Resolución de sistemas de ecuaciones

Hay diversos procedimientos para solucionar sistemas de ecuaciones, en este artículo mostraremos 3 de los más usados.

Método de sustitución

1 En cualquiera de las ecuaciones se deberá despejar una incógnita.

2 Se reemplaza la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El costo obtenido se suple en la ecuación en la que se mostraba la incógnita despejada.

5 Ambos valores logrados conforman la solución del sistema.

Método de igualación

1 Se debe tomar en cuenta que la incógnita a despejar en ambas ecuaciones es la misma.

2 Se igualan las expresiones y obtenemos una incógnita en una ecuación.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El costo obtenido se suple en cualquier persona de ambas expresiones en las que se mostraba despejada la otra incógnita.

Método de reducción

1 Se preparan ambas ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2 La restamos o sumamos de manera que desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El costo obtenido se reemplaza en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

Tipos de sistemas

Sistema compatible definido

Tiene una sola solución.

Gráficamente la solución es el punto de corte de ambas rectas.

Ejemplo: Encontrar las resoluciones del sistema

4x+5y=1

2x-y=5

Aplicamos el procedimiento de reducción, para lo que multiplicamos por 5 los dos lados de la segunda ecuación y se recibe el sistema equivalente

4x+5y=1

10x-5y=25

Sumamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación resultante

4x+5y=1

10x-5y=25

14x=26

x=26/14

Sustituimos el costo anterior en la segunda ecuación

2x-y=5

2(26/14)-y=5

26/7-y=5

26/7-y=35/7

y=-9/7

Sistema compatible indeterminado

El sistema tiene infinitas resoluciones.

Ejemplo: Encontrar las resoluciones del sistema

12X-6Y=30

2X-Y=5

Aplicamos el procedimiento de reducción, para lo que multiplicamos por 6 los dos lados de la segunda ecuación y se recibe el sistema equivalente

12X-6Y=30

12X-6Y=30

Las rectas son equivalentes, por lo cual se poseen infinitas resoluciones. De esta forma, hablamos de un sistema compatible indeterminado

Sistema incompatible

No tiene solución

Ejemplo: Encontrar las resoluciones del sistema

12X-6Y=30

2X-Y=1

Aplicamos el procedimiento de reducción, para lo que multiplicamos por 6 los dos lados de la segunda ecuación y se recibe el sistema equivalente

12X-6Y=30

12X-6Y=1

Las rectas no son equivalentes, empero poseen la misma pendiente m=2 por lo cual son paralelas y no existe solución. De esta forma, hablamos de un sistema incompatible.

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