En esta página vamos a exponer los 3 procedimientos básicos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los procedimientos, solamente vamos a solucionar sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Una vez que sepamos solucionar un sistema, ya tenemos la posibilidad de solucionar inconvenientes de aplicación:
El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Ejemplificando,
- el coeficiente de 2x es 2,
- coeficiente de x es 1,
- el coeficiente de -x es -1.
Explicaremos los procedimientos con 4 pasos y por medio de una ejemplificación.
Procedimiento de Sustitución
El procedimiento de sustitución se apoya en aislar en una ecuación una de ambas incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.
Este procedimiento es recomendable una vez que una de las incógnitas tiene coeficiente 1.
Ejemplo 1
4+X=2Y
2X-Y=1
- Aislamos una incógnita
Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, únicamente poseemos que pasar el 4 restando al otro lado:
4+X=2Y
X=2Y -4
Ya poseemos aislada la incógnita x.
- Sustituimos la incógnita en la otra ecuación
Como poseemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en vez de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):
2X-Y=1
2(2Y -4)-Y=1
4Y -8-Y=1
Observad que hemos usado paréntesis pues el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.
- Resolvemos la ecuación obtenida:
4Y -8-Y=1
3Y -8=1
3Y=9
Y=3
Ya comprendemos una incógnita: y=3.
- Calculamos la otra incógnita sustituyendo:
Al despejar la incógnita x teníamos
X= 2Y -4
Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:
X= 2Y -4
X= 2*3 -4
X= 6 -4
X= 2
Por tanto, la otra incógnita es x=2.
La solución del sistema es
X= 2
Y= 3
Procedimiento de Reducción
El procedimiento de reducción se basa en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para remover una de las incógnitas.
Este procedimiento es recomendable una vez que una misma incógnita tiene en las dos ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son equivalentes sin embargo con símbolo contrario (sumamos las ecuaciones).
Ejemplo 2
X-Y=2
2X+Y=19
- Comprobamos los coeficientes
Se debe aseverarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece:
- Elegimos una incógnita a borrar: la y.
- Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).
- Como son equivalentes y de símbolo opuesto, sumaremos las ecuaciones.
Nota: si ni una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, tenemos la posibilidad de multiplicar cada ecuación por el número diferente de 0 que sea primordial para conseguirlo. Un caso muestra de esto lo tenemos la posibilidad de hallar en el Problema 2.
- Sumamos o restamos las ecuaciones
Sumamos las ecuaciones para borrar la y:
X-Y=2
2X+Y=19
- Resolvemos la ecuación obtenida
Quedando 3X=21
X=7
- Calculamos la otra incógnita sustituyendo
Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:
X-Y=2
7-Y=2
Y=5
La solución del sistema es
X=7
Y=5
Procedimiento de Igualación
El procedimiento de igualación se apoya en aislar una incógnita en ambas ecuaciones para igualarlas.
Este procedimiento es recomendable una vez que una misma incógnita es simple de aislar en las dos ecuaciones.
Ejemplo 3
X-Y=5
X+2Y=-1
- Aislamos una incógnita en ambas ecuaciones
Escogemos aislar la incógnita x:
X-Y=5
X+2Y=-1
X=5+Y
X=-1 -2Y
- Igualamos las expresiones
Como x=x, tenemos la posibilidad de igualar las expresiones logradas:
5+Y=-1 -2Y
- Resolvemos la ecuación
Resolvemos la ecuación de primer nivel obtenida:
5+Y=-1 -2Y
2Y+Y=-1 -5
3Y=-6
Y=-2
- Calculamos la otra incógnita sustituyendo
Sustituimos el costo de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas antes (la primera, por ejemplo):
X=5+Y
X=5-2
X=3
La solución del sistema es
X=3
Y=-2