En esta página vamos a exponer los 3 procedimientos básicos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los procedimientos, solamente vamos a solucionar sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Una vez que sepamos solucionar un sistema, ya tenemos la posibilidad de solucionar inconvenientes de aplicación:
El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Ejemplificando,
el coeficiente de 2x es 2,
coeficiente de x es 1,
el coeficiente de -x es -1.
Explicaremos los procedimientos con 4 pasos y por medio de una ejemplificación.
Procedimiento de Sustitución
El procedimiento de sustitución se apoya en aislar en una ecuación una de ambas incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.
Este procedimiento es recomendable una vez que una de las incógnitas tiene coeficiente 1.
Ejemplo 1
4+X=2Y
2X-Y=1
Aislamos una incógnita
Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, únicamente poseemos que pasar el 4 restando al otro lado:
4+X=2Y
X=2Y -4
Ya poseemos aislada la incógnita x.
Sustituimos la incógnita en la otra ecuación
Como poseemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en vez de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):
2X-Y=1
2(2Y -4)-Y=1
4Y -8-Y=1
Observad que hemos usado paréntesis pues el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.
Resolvemos la ecuación obtenida:
4Y -8-Y=1
3Y -8=1
3Y=9
Y=3
Ya comprendemos una incógnita: y=3.
Calculamos la otra incógnita sustituyendo:
Al despejar la incógnita x teníamos
X= 2Y -4
Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:
X= 2Y -4
X= 2*3 -4
X= 6 -4
X= 2
Por tanto, la otra incógnita es x=2.
La solución del sistema es
X= 2
Y= 3
Procedimiento de Reducción
El procedimiento de reducción se basa en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para remover una de las incógnitas.
Este procedimiento es recomendable una vez que una misma incógnita tiene en las dos ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son equivalentes sin embargo con símbolo contrario (sumamos las ecuaciones).
Ejemplo 2
X-Y=2
2X+Y=19
Comprobamos los coeficientes
Se debe aseverarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece:
Elegimos una incógnita a borrar: la y.
Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).
Como son equivalentes y de símbolo opuesto, sumaremos las ecuaciones.
Nota: si ni una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, tenemos la posibilidad de multiplicar cada ecuación por el número diferente de 0 que sea primordial para conseguirlo. Un caso muestra de esto lo tenemos la posibilidad de hallar en el Problema 2.
Sumamos o restamos las ecuaciones
Sumamos las ecuaciones para borrar la y:
X-Y=2
2X+Y=19
Resolvemos la ecuación obtenida
Quedando 3X=21
X=7
Calculamos la otra incógnita sustituyendo
Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:
X-Y=2
7-Y=2
Y=5
La solución del sistema es
X=7
Y=5
Procedimiento de Igualación
El procedimiento de igualación se apoya en aislar una incógnita en ambas ecuaciones para igualarlas.
Este procedimiento es recomendable una vez que una misma incógnita es simple de aislar en las dos ecuaciones.
Ejemplo 3
X-Y=5
X+2Y=-1
Aislamos una incógnita en ambas ecuaciones
Escogemos aislar la incógnita x:
X-Y=5
X+2Y=-1
X=5+Y
X=-1 -2Y
Igualamos las expresiones
Como x=x, tenemos la posibilidad de igualar las expresiones logradas:
5+Y=-1 -2Y
Resolvemos la ecuación
Resolvemos la ecuación de primer nivel obtenida:
5+Y=-1 -2Y
2Y+Y=-1 -5
3Y=-6
Y=-2
Calculamos la otra incógnita sustituyendo
Sustituimos el costo de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas antes (la primera, por ejemplo):
¿Que son las ecuaciones? Los sistemas de ecuaciones lineales permiten resolver problemas de ingeniería, física, química, etc. Se trata a partir de varias ecuaciones lineales se podrá encontrar las incógnitas de las variables. Para poder resolver un sistema de ecuaciones lineales se deben seguir los siguientes pasos:
Se despeja una incógnita en una ecuación.
Sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
Resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
Existen tres tipos de resultados en un sistema de ecuaciones, los cuales son:
Tiene una sola solución.
Indeterminado tiene infinitas soluciones.
No tiene solución.
A continuación se pueden apreciar 3 ejercicios para entender que son las ecuaciones:
Ejercicio 1: Sí X+Y-Z=7, Z+Y*X=89 y Y+X*Y=88. Determinar Z+Y-X=?
El problema se plantea con tres ecuaciones con tres incógnitas:
X+Y-Z=7
Z+Y*X=89
Y+X*Y=88
Se debe calcular el valor de X,Y y Z inicialmente para poder resolver el problema, lo cual se realizará de la siguiente manera:
Entre la ecuación 1 y la ecuación 2 se buscará eliminar el valor de Z
X+Y-Z=7
Z+Y*X=89
Sumando las mismas se obtiene
X+Y+Y*X=96
Con esto podremos tener dos ecuaciones con dos incógnitas las cuales son las siguientes:
X+Y+Y*X=96
Y+X*Y=88
Restando la segunda de la primera ecuación se llegará a obtener:
X=8
Ahora volvemos a ver las dos ecuaciones anteriormente descrita, pero reemplazando X con lo cual tendremos:
8+Y-Z=7
Z+8Y=89
Sumando ambas ecuaciones llegamos a obtener:
8+9Y=96
9Y=88
Y=88/9
Finamente despejamos Z en la primera ecuación con lo cual tendremos:
X+Y-Z=7
Z=X+Y-7
Z=8+(88/9)-7
Z=97/9
Ahora que encontramos los valores de X,Y y Z resolveremos la ecuación de Z+Y-X=? dando como resultado Z+Y-X=97/9 + 88/9 – 72/9 = 113/9
Ejercicio 2 Que son las ecuaciones: Sí X+Y-Z=0, Z+Y*X=5 y Y+X*Y=4. Determinar Z+Y-X=?
El problema se plantea con tres ecuaciones con tres incógnitas:
X+Y-Z=0
Z+Y*X=5
Y+X*Y=4
Se debe calcular el valor de X,Y y Z inicialmente para poder resolver el problema, lo cual se realizará de la siguiente manera:
Entre la ecuación 1 y la ecuación 2 se buscará eliminar el valor de Z
X+Y-Z=0
Z+Y*X=5
Sumando las mismas se obtiene
X+Y+Y*X=5
Con esto podremos tener dos ecuaciones con dos incógnitas las cuales son las siguientes:
X+Y+Y*X=5
Y+X*Y=4
Restando la segunda de la primera ecuación se llegará a obtener:
X=1
Ahora volvemos a ver las dos ecuaciones anteriormente descrita, pero reemplazando X con lo cual tendremos:
1+Y-Z=0
Z+Y=5
Sumando ambas llegamos a obtener:
1+2Y=5
2Y=4
Y=2
Finamente despejamos Z en la primer ecuación con lo cual tendremos:
X+Y-Z=0
Z=X+Y
Z=1+2
Z=3
Ahora que encontramos los valores de X,Y y Z resolveremos la ecuación de Z+Y-X=? dando como resultado Z+Y-X=3 + 2 – 1 = 4
Ejercicio 3: Sí X+Y-Z=2, Z+Y*X=17 y Y+X*Y=16. Determinar Z+Y-X=?
El problema se plantea con tres ecuaciones con tres incógnitas:
X+Y-Z=2
Z+Y*X=17
Y+X*Y=16
Se debe calcular el valor de X,Y y Z inicialmente para poder resolver el problema, lo cual se realizará de la siguiente manera:
Entre la ecuación 1 y la ecuación 2 se buscará eliminar el valor de Z
X+Y-Z=2
Z+Y*X=17
Sumando las mismas se obtiene
X+Y+Y*X=19
Con esto podremos tener dos ecuaciones con dos incógnitas las cuales son las siguientes:
X+Y+Y*X=19
Y+X*Y=16
Restando la segunda de la primera ecuación se llegará a obtener:
X=3
Ahora volvemos a ver las dos ecuaciones anteriormente descrita, pero reemplazando X con lo cual tendremos:
3+Y-Z=2
Z+3Y=17
Sumando ambas llegamos a obtener:
3+4Y=19
4Y=16
Y=4
Finamente despejamos Z en la primer ecuación con lo cual tendremos:
X+Y-Z=2
Z=X+Y-2
Z=3+4-2
Z=5
Ahora que encontramos los valores de X,Y y Z resolveremos la ecuación de Z+Y-X=? dando como resultado Z+Y-X=5 + 4 – 3 = 6
lLas ecuaciones de primer grado es la ecuación que tiene una sola variable donde solamente se involucran sumas y restas a la primera potencia. Una ecuación tiene valores conocidos e incognitas donde mediante operaciones algebraicas se buscará encontrar el valor de las incógnitas.
La ecuación ya sea de primer grado como veremos ahora o de grados superiores se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas que deben ser resueltas.
Para poder resolver un sistema de ecuaciones lineales se deben seguir los siguientes pasos:
Despeja una incógnita en la ecuacion.
Sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
A continuación se puede apreciar 3 ejercicios de ecuaciones de primer grado:
Ejercicio 1 ecuaciones de primer grado: El peso de una garrafa vacia es del 3% del peso del agua que cabe dentro. Llena de agua la garrafa pesa 50kg. Hallar el peso del agua que cabe en ella.
Inicialmente se determinaran las variables del ejercicio, las cuales son:
X=Peso del agua
Y=Peso de la garrafa vacía
A partir de las mencionadas variables, establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
X+Y=50 Kg
3%*X=Y
Reemplazamos Y de la segunda ecuación en la primera, obteniendo:
X+3%*X =50
1,03*X =50
Por lo que el peso del agua será de: X =50/1,03= 48,54 Kg
Ahora reemplazamos el valor del peso del agua en la primera ecuación con lo que tendremos:
Y=50 Kg-48,54 Kg=1,46 Kg
Por lo que el peso de la garrafa será de Y=1,46 Kg
Ejercicio 2 ecuaciones de primer grado: El peso de una garrafa vacia es del 7% del peso del agua que cabe dentro. Llena de agua la garrafa pesa 55kg. Hallar el peso del agua que cabe en ella.
Inicialmente se determinaran las variables del ejercicio, las cuales son:
X=Peso del agua
Y=Peso de la garrafa vacía
A partir de las mencionadas variables, establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
X+Y=55 Kg
7%*X=Y
Reemplazamos Y de la segunda ecuación en la primera, obteniendo:
X+7%*X =55
1,07*X =55
Por lo que el peso del agua será de: X =55/1,07= 51,4 Kg
Ahora reemplazamos el valor del peso del agua en la primera ecuación con lo que tendremos:
Ejercicio 3: El peso de una garrafa vacia es del 10% del peso del agua que cabe dentro. Llena de agua la garrafa pesa 60kg. Hallar el peso del agua que cabe en ella.
Inicialmente se determinaran las variables del ejercicio, las cuales son:
X=Peso del agua
Y=Peso de la garrafa vacía
A partir de las mencionadas variables, establecemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
X+Y=60 Kg
10%*X=Y
Reemplazamos Y de la segunda ecuación en la primera, obteniendo:
X+10%*X =60
1,1*X =60
Por lo que el peso del agua será de: X =60/1,1= 54,54 Kg
Ahora reemplazamos el valor del peso del agua en la primera ecuación con lo que tendremos:
Y=60 Kg-54,54 Kg=5,46 Kg
Por lo que el peso de la garrafa será de Y=5,46 Kg
Los sistemas de ecuaciones lineales permiten resolver problemas de ingeniería, física, química, etc. Se trata a partir de varias ecuaciones lineales se podrá encontrar las incógnitas de las variables. Para poder resolver un sistema de ecuaciones lineales se deben seguir los siguientes pasos:
Despeja una incógnita en una ecuacion.
Sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
Resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
Existen tres tipos de resultados en un sistema de ecuaciones, los cuales son:
Tiene una sola solución.
Indeterminado tiene infinitas soluciones.
No tiene solución.
A continuación se pueden ver tres ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas:
Ejercicio 1 ecuaciones lineales: La edad del padre es el doble de la de su hijo. Si ambas edades suman 60 años. ¿La edad del hijo es?
Inicialmente colocaremos nombres a cada una de las variables:
X= Edad de padre
Y= Edad del hijo
A partir de las variables, plantearemos un sistema de ecuaciones. Este es un ejercicio de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las cuales son:
X+Y=60
X=2Y
Reemplazamos la segunda ecuación en la primera, obteniendo:
2Y+Y=60
3Y=60
Y=20
Por lo que la edad del hijo es de 20 años. Ahora reemplazo Y en la primera ecuación obteniendo:
Ejercicio 2 ecuaciones lineales: La edad del padre es el triple de la de su hijo. Si ambas edades suman 60 años. ¿La edad del hijo es?
Inicialmente colocaremos nombres a cada una de las variables:
X= Edad de padre
Y= Edad del hijo
A partir de las variables, plantearemos un sistema de ecuaciones. Este es un ejercicio de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las cuales son:
X+Y=60
X=3Y
Reemplazamos la segunda ecuación en la primera, obteniendo:
3Y+Y=60
4Y=60
Y=15
Por lo que la edad del hijo es de 15 años. Ahora reemplazo Y en la primera ecuación obteniendo:
Ejercicio 3: La edad del padre es el cuadruple de la de su hijo. Si ambas edades suman 50 años. ¿La edad del hijo es?
Inicialmente colocaremos nombres a cada una de las variables:
X= Edad de padre
Y= Edad del hijo
A partir de las variables, plantearemos un sistema de ecuaciones. Este es un ejercicio de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las cuales son:
X+Y=50
X=4Y
Reemplazamos la segunda ecuación en la primera, obteniendo:
4Y+Y=50
5Y=50
Y=10
Por lo que la edad del hijo es de 10 años. Ahora reemplazo Y en la primera ecuación obteniendo:
Una ecuacion cuadratica de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la expresión general: ax²+bx+c. Un ejemplo de ecuacion cuadráticas es: 5x^2 – 3x + 3 = 0.
En una ecuación cuadrática o de segundo grado el mayor exponente de la incógnita es 2. En esta ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0.
Todas las ecuaciones cuadráticas tienen 3 términos, el término cuadrático, el lineal y el independiente. Los términos son:
«ax²» es el término cuadrático.
«bx» es el término lineal.
«c» es el término independiente.
A continuación se puede apreciar tres ejercicios resueltos de ecuacion cuadrática:
Ejercicio 1 resolver el sistema de ecuacion cuadratica: X^2-Y^2=24 y X-Y=2
Para poder resolver el siguiente sistema de ecuaciones X^2-Y^2=24 y X-Y=2, primero despejamos la siguiente ecuación:
X-Y=2
X=2+Y
Ahora reemplazamos X en la siguiente ecuación X^2-Y^2=24 quedando:
(2+Y)^2-Y^2=24
Realizamos operaciones para determinar Y:
4+2*2*Y+Y^2-Y^2=24
4+2*2*Y=24
4Y=20
Con lo que tendremos que Y=5.
Ahora reemplazando valores de Y=5, en la primera ecuación tenemos:
Un sistema de ecuaciones 2×2 es un conjunto de ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar uno de los siguientes métodos:
Sustitución.
Igualación.
Reducción.
Método gráfico.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es un conjunto de ecuaciones con más de una incógnita que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas operaciones.
En el caso de un sistema de ecuaciones 2×2 es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. A continuación se pueden observar los siguientes tres sistemas de ecuaciones resueltos:
Ejercicio 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 2×2
4X+Y=-3
-3X+Y=11
A continuación tenemos el siguiente sistema de ecuaciones 2×2:
4X+Y=-3
-3X+Y=11
Para resolver el mismo, despejamos Y de la segunda ecuación obteniendo:
Y=11+3X
Ahora reemplazamos Y en la primera ecuación obteniendo:
4X+11+3X=-3
7X=-14
Por lo que el valor de X es de X=-2. Para calcular Y reemplazamos el valor de X en la primera ecuación obteniendo:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en donde podrá existir una o más variables. El resolver ecuaciones nos ayuda en algebra, calculo y otras partes importantes dela matemática. Una ecuación puede tener una o más variables pero lo más importante es que al resolver ecuaciones pueden darse tres tipos de resultados: El primero tiene una solución única, el segundo no tiene solución y el tercero tiene varias soluciones. A continuación se puede ver tres ejercicios para resolver ecuaciones:
Ejercicio 1 resolver ecuaciones: Cristian es 3 años mayor que Gonzalo, en 5 años más sus edades sumaran 35 años. ¿Qué edad tiene Gonzalo?
Primeramente, planteamos las variables, siendo estas:
X= Edad de Cristian
Y = Edad de Gonzalo
A partir de las variables determinamos las ecuaciones al problema:
X= Y + 3
X + 5 + Y + 5 = 35 Por lo tanto X + Y = 25
Remplazamos la primera ecuación en la segunda ecuación obteniendo:
Y + 3 + Y = 25
2Y = 22
Y = 11
Es decir, que la edad que tiene Gonzalo actualmente es de 11 años.
Ejercicio 3 resolver ecuaciones: Calcular el año de nacimiento de Macario sabiendo que en el año 2003 su edad era el triple que la que tenía en el año 1973.
Primeramente, planteamos la variable, siendo esta:
X= Edad actual de Macario
A partir de la variable determinamos la ecuación al problema en base al siguiente análisis:
La diferencia entre el año 2003 y 1973 son 30 años, por la que X es la edad de Macario en el año 1973. La ecuación quedará de la siguiente forma:
X + 30 = 3X
Despejando X tendremos:
30 = 2X
X= 15
Por lo que la edad actual de Macario es de 15 años. Así mismo dentro de 30 años Macario llegará a tener 45 años.
Si en el año 1973 Macario tiene 15 años, significa que su año de nacimiento es 1958.
Sistemas de ecuaciones con dos incognitas : Plantearemos y resolveremos cinco ejercicios de sistemas de ecuaciones con dos incognitas. Estos se pueden resolver por igualación, sustitución y reducción. Tambien puede ver sistemas de ecuaciones con edades.
Ejercicio 1: Encuentre dos números que sumados den 77 y multiplicados 1300
Ecuaciones con dos incognitas
A partir de ahí podremos plantearnos las siguientes dos ecuaciones con dos incógnitas:
X+Y=77
X*Y=1300
Despejando A tenemos:
X =77 – Y
Reemplazando el valor de A en la siguiente ecuación tenemos:
(77-Y)*Y=1300
(77-Y)*Y=1300
77Y-Y2=1300
Y2-77Y+1300
Para calcular se puede utilizar la fórmula:
X = (-b +/- RAIZ(b2 – 4ac))/2a
Reemplazando los valores llegaremos a obtener lo siguiente:
X = (-(-77) +/- RAIZ((-77)2 – 4*1*1300))/2*1
X = (77 +/- RAIZ(5929 – 5200))/2*1
X = (77 +/- RAIZ(729))/2*1
X = (77 +/- 27)/2
X1 = 104/2 = 52
X2 = 25
Por lo tanto los valores buscados son de 25 y 52.
Ejercicio 2 Sistemas de ecuaciones con dos incognitas: Encuentre dos números que sumados den 110 y multiplicados 2944
A partir de ahí podremos plantearnos el siguiente sistemas de ecuaciones con dos incognitas :
X+Y=110
X*Y=2944
Despejando A tenemos:
X =110 – Y
Reemplazando el valor de A en la siguiente ecuación tenemos:
(110-Y)*Y=2944
(110-Y)*Y=2944
110Y-Y2=29444
Y2-110Y+2944
Para calcular se puede utilizar la fórmula:
X = (-b +/- RAIZ(b2 – 4ac))/2a
Reemplazando los valores llegaremos a obtener lo siguiente:
X = (-(-110) +/- RAIZ((-110)2 – 4*1*2944))/2*1
X = (110 +/- RAIZ(12100 – 11776))/2*1
X = (110 +/- RAIZ(324))/2*1
X = (110 +/- 18)/2
X1 = 128/2 = 64
X2 = 46
Por lo tanto los valores buscados son de 64 y 46.
Ejercicio 3 Sistemas de ecuaciones con dos incognitas: Encuentre dos números que sumados den 99 y multiplicados 1944
A partir de ahí podremos plantearnos las siguientes dos ecuaciones con dos incógnitas:
X+Y=99
X*Y=1944
Despejando A tenemos:
X =99 – Y
Reemplazando el valor de A en la siguiente ecuación tenemos:
(99-Y)*Y=1944
(99-Y)*Y=1944
99Y-Y2=1944
Y2-99Y+1944
Para calcular se puede utilizar la fórmula:
X = (-b +/- RAIZ(b2 – 4ac))/2a
Reemplazando los valores llegaremos a obtener lo siguiente:
X = (-(-99) +/- RAIZ((-99)2 – 4*1*1944))/2*1
X = (99 +/- RAIZ(9801 – 7776))/2*1
X = (99 +/- RAIZ(2025))/2*1
X = (99 +/- 45)/2
X1 = 144/2 = 72
X2 = 27
Por lo tanto los valores buscados son de 72 y 27.
Ejercicio 4 Sistemas de ecuaciones con dos incognitas: Encuentre dos números que sumados den 143 y multiplicados 4606
A partir de ahí podremos plantearnos las siguientes dos ecuaciones con dos incógnitas:
X+Y=143
X*Y=4606
Despejando A tenemos:
X =143 – Y
Reemplazando el valor de A en la siguiente ecuación tenemos:
(143-Y)*Y=4606
(143-Y)*Y=4606
143Y-Y2=4606
Y2-143Y+4606
Para calcular se puede utilizar la fórmula:
X = (-b +/- RAIZ(b2 – 4ac))/2a
Reemplazando los valores llegaremos a obtener lo siguiente:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.
Una solución es todo par de números que cumple la ecuación. Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de soluciones:
Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto.
Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.
Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.
Existen diferentes métodos de resolución:
Sustitución.
Reducción.
Igualación.
En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo:
Ejercicios Sistemas de ecuaciones: método de sustitución
A través del método de sustitución lo que debemos hacer es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la siguiente. Lo veremos con más detalle en el siguiente ejemplo:
Lo primero que hacemos es despejamos una de las incógnitas en la primera ecuación.
Posteriormente, sustituimos en la segunda ecuación el valor correspondiente de la «x».
Ejercicios Sistemas de ecuaciones: método de reducción
Con el método de reducción lo que hacemos es combinar, sumando o restando, nuestras ecuaciones para que desaparezca una de nuestras incógnitas.
Los pasos a seguir son los siguientes:
En primer lugar, necesitamos preparar las dos ecuaciones, si es necesario, multiplicándolas por los números que convenga.
En este caso, queremos reducir la «y» de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2.
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
Sistema de ecuaciones: método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados.
Los pasos a seguir son los siguientes:
En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso, empezaré por la «x» y despejo la misma en ambas ecuaciones.
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
¿Cuál es la edad del padre y del hijo? El presente ejercicio es la resolución de problemas a partir de un sistema de ecuaciones.
Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviese 30 años menos y el hijo 8 años más, los dos tendrían la misma edad. Hallar la edad del padre y del hijo.
Inicialmente se deben determinar las variables:
X= Edad del padre
Y= Edad del Hijo
Analizando la primera frase del problema: Un padre tiene el triple de la edad de su hijo
La mencionada primera frase se la puede expresar mediante la siguiente ecuación:
X= 3Y
Analizando la segunda frase del problema: Si el padre tuviese 30 años menos y el hijo 8 años más, los dos tendrían la misma edad.
X-30= Y+8
Obteniendo de esta manera dos ecuaciones con dos incognitas las cuales son las siguientes:
X= 3Y
X-30= Y+8
Despejamos X en cada una de las ecuaciones quedando los siguientes resultados:
X= Y+38
X= 3Y
Igualando en x el sistema de ecuaciones de 1 y 2
Y+38 = 3Y
2Y = 38
Y=19
Por lo tanto la edad del hijo será de: 19
Reemplazando en el sistema de ecuaciones. La segunda ecuación se llega a tener:
¿Cuál es la edad del tío y del sobrino? El presente ejercicio es la resolución de problemas a partir de un sistema de ecuaciones
Hace 4 años la edad de un tío llamado José era cuatro veces la de su sobrino Matías, y dentro de 4 años será el doble. ¿Qué edades tienen ahora el tío y el sobrino?
Inicialmente se deben determinar las variables:
X= Edad actual del tío
Y= Edad actual del sobrino
Analizando la primera frase del problema: Hace 4 años la edad de un tío llamado José era cuatro veces la de su sobrino Matías
La mencionada primera frase se la puede expresar mediante la siguiente ecuación:
X-4= 4(Y-4)
Analizando la segunda frase del problema: Y dentro de 4 años será el doble
X+4= 2(Y+4)
Obteniendo de esta manera dos ecuaciones con dos incognitas las cuales son las siguientes:
X-4= 4(Y-4)
X+4= 2(Y+4)
Despejamos X en cada una de las ecuaciones quedando los siguientes resultados:
X= 4(Y-4) +4
X= 2(Y+4) -4
Igualando en x las ecuaciones 1 y 2
4(Y-4) +4 = 2(Y+4) -4
Realizando operaciones:
4Y-16 +4 = 2Y+8 -4
4Y-12 = 2Y+4
2Y = 16
Y = 8
Por lo tanto la edad del sobrino será: 8
El 8 de la edad del padre se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones planteadas. Elegiremos la primera.
¿Qué Métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones?
Los tres métodos más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones son la sustitución, la eliminación y la igualación. Son métodos simples que pueden resolver eficazmente, la mayoría de los sistemas de dos ecuaciones se pueden resolver en unos pocos pasos
Método de sustitución
La sustitución es un método para resolver sistemas de ecuaciones eliminando todas las variables menos una en una de las ecuaciones y luego resolviendo esa ecuación. Esto se logra aislando la otra variable en una ecuación y luego sustituyendo los valores de estas variables en otra ecuación. Por ejemplo, para resolver el sistema de ecuaciones x + y = 4, 2x – 3y = 3, aísle la variable x en la primera ecuación para obtener x = 4 – y, luego sustituya este valor de y en la segunda ecuación para obtener 2 (4 – y) – 3y = 3. Esta ecuación se simplifica a -5y = -5, o y = 1. Inserta este valor en la segunda ecuación para encontrar el valor de x: x + 1 = 4 o x = 3.
Resolver sistemas de ecuaciones: Método de Eliminación o Reducción
La eliminación es otra forma de resolver sistemas de ecuaciones reescribiendo una de las ecuaciones en términos de una sola variable. El método de eliminación logra esto sumando o restando ecuaciones entre sí para cancelar una de las variables. Por ejemplo, al sumar las ecuaciones x + 2y = 3 y 2x – 2y = 3 se obtiene una nueva ecuación, 3x = 6. El sistema se resuelve utilizando los mismos métodos que para la sustitución. Si es imposible cancelar las variables en las ecuaciones, será necesario multiplicar la ecuación completa por un factor para que los coeficientes coincidan.
Método de Igualación
Finalmente, el método de igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas. Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones.
Problemas de sistema de ecuaciones – Aprenda a resolver sistemas de Ecuaciones de forma sencilla
Ejemplo Tarifa de admisión en una feria:
La tarifa de admisión en una feria pequeña es de $ 1.50 para niños y $ 4.00 para adultos. En un día determinado, 2200 personas entran a la feria y se recaudan $ 5050. ¿Cuántos niños y cuántos adultos asistieron?
Usar un sistema de ecuaciones me permite usar dos variables diferentes para las dos incógnitas diferentes.
cantidad de adultos: a
cantidad de niños: c
Con estas variables, puedo crear ecuaciones para los totales que me han dado:
número total: a + c = 2200
ingreso total: 4 a + 1.5 c = 5050
Ahora puedo resolver el sistema para la cantidad de adultos y la cantidad de niños. Resolveré la primera ecuación para una de las variables y luego sustituiré el resultado en la otra ecuación:
a = 2200 – c
4 (2200 – c ) + 1.5 c = 5050
8800 – 4 c + 1.5 c = 5050
8800 – 2.5 c = 5050
-2,5 c = -3750
c = 1500
Ahora puedo resolver el valor de la otra variable:
a = 2200 – (1500) = 700
Tengo valores para mis dos variables.
1500 niños y 700 adultos.
La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 7. Cuando se invierten los dígitos, el número aumenta en 27. Encuentra los dígitos.
El truco aquí es trabajar con los dígitos explícitamente. Usaré » t » para el dígito «decenas» y » u » para el dígito «unidades». Entonces tengo:
t + u = 7
El dígito de diez significa «diez veces el valor de este dígito». En otras palabras:
número original: 10 t + 1 u
El nuevo número tiene los valores de los dígitos en orden inverso. Esto me da:
nuevo número: 10 u + 1 t
Y este nuevo número es veintisiete más que el número original. La palabra clave «es» significa «igual», por lo que obtengo:
(número nuevo) es (número antiguo) aumentado en (veintisiete)
10 u + 1 t = (10 t + 1 u ) + 27
Ahora tengo un sistema de ecuaciones que puedo resolver:
t + u = 7
10 u + t = 10 t + u + 27
Primero simplificaré la segunda ecuación:
10 u + t = 10 t + u + 27
9 u – 9 t = 27
u – t = 3
Después de reordenar las variables en la primera ecuación, ahora tengo:
u + t = 7
u – t = 3
Sumando , obtengo:
2 u = 10
u = 5
Entonces t = 2. Resolviendo de nuevo, esto significa que el número era 25.
Ejemplo puesto de comida en un partido de baloncesto:
Estás ejecutando un puesto de comida en un partido de baloncesto. Estás vendiendo hot dogs y refrescos. Cada perrito caliente cuesta $ 1.50 y cada refresco cuesta $ 0.50. Al final de la noche ganaste un total de $ 78.50. Has vendido un total de 87 hot dogs y refrescos combinados. Debe informar la cantidad de perritos calientes vendidos y la cantidad de refrescos vendidos. ¿Cuántos hot dogs se vendieron y cuántos refrescos se vendieron?
Solución
Comencemos por identificar la información importante:
los hot dogs cuestan $ 1.50
Los refrescos cuestan $ 0.50
Hizo un total de $ 78.50
Vendido 87 hot dogs y refrescos combinados
Defina sus variables.
En este problema, no sé cuántos perros calientes o refrescos se vendieron. Entonces, esto es lo que representará cada variable.
Sea x = la cantidad de perritos calientes vendidos
Sea y = la cantidad de refrescos vendidos
Escribe dos ecuaciones.
Una ecuación estará relacionada con el precio y una ecuación estará relacionada con la cantidad (o número) de hot dogs y refrescos vendidos.
1.50x + 0.50y = 78.50 (Ecuación relacionada con el costo)
x + y = 87 (Ecuación relacionada con el número vendido)
Resuelve
Elegí para resolver el método de sustitución ya que puedo resolver fácilmente la segunda ecuación.
x es el número de perritos calientes. Eso significa que se vendieron 35 perritos calientes.
y es el número de gaseosas. Eso significa que se vendieron 52 gaseosas.
Se vendieron 35 perros calientes y se vendieron 52 gaseosas.
Usted y un amigo van a Tacos Galore para almorzar. Ordena tres tacos suaves y tres burritos y su factura total es de $ 11.25. La factura de su amigo es de $ 10.00 por cuatro tacos suaves y dos burritos. ¿Cuánto cuestan los tacos suaves? ¿Cuánto cuestan los burritos?
Comencemos por identificar la información importante:
3 tacos suaves + 3 burritos cuestan $ 11.25
4 tacos suaves + 2 burritos cuestan $ 10.00
Defina sus variables.
En este problema, no sé el precio de los tacos suaves o el precio de los burritos.
Sea x = el precio de 1 taco suave
Sea y = el precio de 1 burrito
Escribe dos ecuaciones.
Una ecuación estará relacionada con su almuerzo y una ecuación estará relacionada con el almuerzo de su amigo.
3x + 3y = 11.25 (Ecuación que representa su almuerzo)
4x + 2y = 10 (Ecuación que representa el almuerzo de tu amigo)
