En este artículo, explicamos qué es un trinomio cuadrado perfecto y cómo descomponerlo para factorizar trinomios. Además, podrás ver algunos ejemplos y practicar resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de manera detallada.
¿Cuál es el trinomio cuadrado perfecto?
Obviamente, antes de comprender el significado del trinomio cuadrado perfecto, debes saber qué es un trinomio, el tipo de trinomio algebraico y que es factorización.
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Por lo tanto, la definición es la siguiente: En matemáticas, el trinomio cuadrado perfecto (también conocido como TCP) es un trinomio obtenido al elevar al cuadrado un binomio. Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos, y el otro polinomio es el producto de las bases de estos cuadrados.
Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos, y el otro polinomio es el producto de las bases de estos cuadrados.
Trinomio cuadrado
(a+b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b) ^ 2 = a^2 -2ab + b^2
Como puede verse en las dos fórmulas anteriores, el trinomio cuadrado perfecto se obtiene a partir de dos identidades bien conocidas (o productos bien conocidos), razón por la cual es tan importante.
Específicamente, cuando se resuelve el cuadrado de la suma o el cuadrado de la resta, se encuentra un trinomio cuadrado ideal.
Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto para comprender completamente el concepto, explicaremos dos ejemplos paso a paso:
Ejemplo 1: X^2+10X+25=(X+5)^2
Este ejemplo es un trinomio cuadrado perfecto porque hay dos cuadrados perfectos en su expresión algebraica (es decir, tienen raíces cuadradas exactas), porque X^2 y 9 son equivalentes a X y 5 elevados a 2 respectivamente, por lo que para factorizar trinomios se deberá hacer lo siguiente:
Caso: (X)^2 = X^2 (5)^2=25
Además, el último término restante del trinomio se obtiene multiplicando las bases de los dos cuadrados precedentes entre sí y multiplicando por: 2*X*53 = 10 veces.
Por lo tanto, la identidad sobresaliente general en este ejercicio (el trinomio factorizado) es: (X+5)^2 = X^2+10X +25
Ejemplo 2: 4X^4-12X^2*Y^3+9Y^6
Este otro ejemplo también es un trinomio cuadrado ideal porque se cumplen tres condiciones necesarias: dos términos corresponden a dos cuadrados ideales, y el otro término es el resultado de multiplicar las bases de estos cuadrados por dos.
(2X^2)^2=4X^4 (3Y^3)^2=9Y^6 2*2X^2 veces*3Y^3 = 12X^2Y^3 veces
En este caso, el trinomio cuadrado perfecto (el trinomio factorizado) tiene un monomio negativo, por lo que corresponde al desarrollo de una ecuación significativa para la diferencia al cuadrado:
4X^4-12X^2*Y^3+9Y^6 = (2X^2-3Y^3)^2
Cómo factorizar un trinomio cuadrado
En álgebra, un problema muy común es descomponer un trinomio cuadrado (TCP). Si no sabe lo que significa, descomponer un polinomio significa convertir su expresión en un producto de factores.
Por lo tanto, para considerar tales trinomios algebraicos, se deben cumplir las siguientes reglas:
- El trinomio debe tener dos cuadrados perfectos, que llamamos y a ^ 2 y b ^ 2.
- Ahora el tercer término restante del trinomio debe ser igual al producto doble de las bases de dos cuadrados perfectos, que corresponde matemáticamente a la expresión 2ab.
- Si todos los términos del trinomio cuadrado perfecto son positivos, el trinomio factorial será (a + b) ^ 2; de lo contrario, si la raíz cuadrada del segundo producto es negativa, el trinomio factorial será (ab)^2.
Para completar la comprensión del programa, poco a poco resolveremos un ejercicio:
Ejemplo3 : 9X^2-24X+16
Lo primero que debemos hacer es determinar si el trinomio tiene dos elementos que son cuadrados perfectos, es decir, su raíz cuadrada no da un número decimal. En este problema, (3X)^2 es el cuadrado de la variable y 16 es el cuadrado de 4:
Raíz(9X^2)=3X
Raíz (16)=4
Por tanto, el trinomio tiene dos cuadrados perfectos.
En segundo lugar, debemos comprobar si el término intermedio es igual al producto doble de las dos raíces calculado en el paso anterior:
2*3X*4=24X
Esta regla también es correcta.
Entonces se cumplen todas las condiciones. Por lo tanto, el trinomio cuadrado factorizado es un binomio formado por las dos raíces encontradas y el cuadrado del número:
9X^2-24X+16=(3X-4)^2
Dado que el término medio es un número negativo, también debemos agregar un signo menos entre paréntesis. Por otro lado, si es positivo, tendremos que sumar:
9X^2-24X+16=(3X-4)^2
Hablando lógicamente, la descomposición es un proceso complejo, así que además de probar los siguientes ejercicios, te sugiero que revises estos ejemplos de polinomios de descomposición.
Problema resuelto del trinomio cuadrado perfecto
Convierta los siguientes trinomios en binomios cuadrados aplicando las fórmulas correspondientes:
- 4X^6 – 28X^4 + 49^2
- 9m^2 – 6mn + n^2
- 25a^4 – 200a^2b + 4b^2
- m^2 – 8m + 16
- 9X^2 + 12XY + Y^2
Solución:
Para convertir un trinomio al cuadrado perfecto a la potencia de un binomio al cuadrado, debemos usar la fórmula para encontrar la identidad saliente del cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia:
(a+b)^2= a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Por tanto:
- 4X^6 – 28X^4 + 49^2 = (2X^3 – 7X)^2
- 9m^2 – 6mn + n^2 = (3m-n)^2
- 25a^4 – 200a^2b + 4b^2 = (5a^2 – 2b)^2
- m^2 – 8m + 16 = (m-4)^2
- 9X^2 + 12XY + Y^2 = (3X + Y)^2