En este artículo podrás encontrar una ficha que contiene las FACTORIZACION TERCEro de SECUNDARIA para estudiantes de primero de primaria como: Detrás de, delante de, encima de, debajo de, cerca de, lejos de, izquierda, derecha y nociones de cantidad. te invitamos a descargar esta ficha que lo encontraras en pdf y word, cabe recordar que el tema es muy importante que ayudara a los estudiantes a aprender las relaciones espaciales y nociones de cantidad.
MODELO DE LA FICHA DE FACTORIZACION TERCERO DE SECUNDARIA QUE PUEDES DESCARGAR AL FINAL DEL ARTICULO
Contenido de la ficha de FACTORIZACION tercero de secundaria:
Aspa simple
Aspa doble
Aspa simple Criterio del Aspa doble
Método de los divisores binomios
Factorización II
(Aspa simple, Aspa doble) Aspa simple Criterio del Aspa doble
Factorizar los siguientes polinomios utilizando el factor común
Factorizar los siguientes polinomios utilizando el factor común
Agrupando términos, factorice los siguientes polinomios
Utilizando las identidades factorizar los siguientes polinomios
Factor común
Suma de cubos
Trinomio cuadrado perfecto
Agrupación
Diferencia de cuadrados
Diferencia de cubos
Factor común, Identidades, Agrupación
Factor primo
AHORA SI ES HORA DE DESCARGAR FACTORIZACION TERCERO DE SECUNDARIA EN PDF Y WORD.
En este artículo, explicamos qué es un trinomio cuadrado perfecto y cómo descomponerlo para factorizar trinomios. Además, podrás ver algunos ejemplos y practicar resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de manera detallada.
¿Cuál es el trinomio cuadrado perfecto?
Obviamente, antes de comprender el significado del trinomio cuadrado perfecto, debes saber qué es un trinomio, el tipo de trinomio algebraico y que es factorización.
Por lo tanto, la definición es la siguiente: En matemáticas, el trinomio cuadrado perfecto (también conocido como TCP) es un trinomio obtenido al elevar al cuadrado un binomio. Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos, y el otro polinomio es el producto de las bases de estos cuadrados.
Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos, y el otro polinomio es el producto de las bases de estos cuadrados.
Trinomio cuadrado
(a+b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b) ^ 2 = a^2 -2ab + b^2
Como puede verse en las dos fórmulas anteriores, el trinomio cuadrado perfecto se obtiene a partir de dos identidades bien conocidas (o productos bien conocidos), razón por la cual es tan importante.
Específicamente, cuando se resuelve el cuadrado de la suma o el cuadrado de la resta, se encuentra un trinomio cuadrado ideal.
Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto para comprender completamente el concepto, explicaremos dos ejemplos paso a paso:
Ejemplo 1: X^2+10X+25=(X+5)^2
Este ejemplo es un trinomio cuadrado perfecto porque hay dos cuadrados perfectos en su expresión algebraica (es decir, tienen raíces cuadradas exactas), porque X^2 y 9 son equivalentes a X y 5 elevados a 2 respectivamente, por lo que para factorizar trinomios se deberá hacer lo siguiente:
Caso: (X)^2 = X^2 (5)^2=25
Además, el último término restante del trinomio se obtiene multiplicando las bases de los dos cuadrados precedentes entre sí y multiplicando por: 2*X*53 = 10 veces.
Por lo tanto, la identidad sobresaliente general en este ejercicio (el trinomio factorizado) es: (X+5)^2 = X^2+10X +25
Ejemplo 2: 4X^4-12X^2*Y^3+9Y^6
Este otro ejemplo también es un trinomio cuadrado ideal porque se cumplen tres condiciones necesarias: dos términos corresponden a dos cuadrados ideales, y el otro término es el resultado de multiplicar las bases de estos cuadrados por dos.
(2X^2)^2=4X^4 (3Y^3)^2=9Y^6 2*2X^2 veces*3Y^3 = 12X^2Y^3 veces
En este caso, el trinomio cuadrado perfecto (el trinomio factorizado) tiene un monomio negativo, por lo que corresponde al desarrollo de una ecuación significativa para la diferencia al cuadrado:
4X^4-12X^2*Y^3+9Y^6 = (2X^2-3Y^3)^2
Cómo factorizar un trinomio cuadrado
En álgebra, un problema muy común es descomponer un trinomio cuadrado (TCP). Si no sabe lo que significa, descomponer un polinomio significa convertir su expresión en un producto de factores.
Por lo tanto, para considerar tales trinomios algebraicos, se deben cumplir las siguientes reglas:
El trinomio debe tener dos cuadrados perfectos, que llamamos y a ^ 2 y b ^ 2.
Ahora el tercer término restante del trinomio debe ser igual al producto doble de las bases de dos cuadrados perfectos, que corresponde matemáticamente a la expresión 2ab.
Si todos los términos del trinomio cuadrado perfecto son positivos, el trinomio factorial será (a + b) ^ 2; de lo contrario, si la raíz cuadrada del segundo producto es negativa, el trinomio factorial será (ab)^2.
Para completar la comprensión del programa, poco a poco resolveremos un ejercicio:
Ejemplo3 : 9X^2-24X+16
Lo primero que debemos hacer es determinar si el trinomio tiene dos elementos que son cuadrados perfectos, es decir, su raíz cuadrada no da un número decimal. En este problema, (3X)^2 es el cuadrado de la variable y 16 es el cuadrado de 4:
Raíz(9X^2)=3X
Raíz (16)=4
Por tanto, el trinomio tiene dos cuadrados perfectos.
En segundo lugar, debemos comprobar si el término intermedio es igual al producto doble de las dos raíces calculado en el paso anterior:
2*3X*4=24X
Esta regla también es correcta.
Entonces se cumplen todas las condiciones. Por lo tanto, el trinomio cuadrado factorizado es un binomio formado por las dos raíces encontradas y el cuadrado del número:
9X^2-24X+16=(3X-4)^2
Dado que el término medio es un número negativo, también debemos agregar un signo menos entre paréntesis. Por otro lado, si es positivo, tendremos que sumar:
9X^2-24X+16=(3X-4)^2
Hablando lógicamente, la descomposición es un proceso complejo, así que además de probar los siguientes ejercicios, te sugiero que revises estos ejemplos de polinomios de descomposición.
Problema resuelto del trinomio cuadrado perfecto
Convierta los siguientes trinomios en binomios cuadrados aplicando las fórmulas correspondientes:
4X^6 – 28X^4 + 49^2
9m^2 – 6mn + n^2
25a^4 – 200a^2b + 4b^2
m^2 – 8m + 16
9X^2 + 12XY + Y^2
Solución:
Para convertir un trinomio al cuadrado perfecto a la potencia de un binomio al cuadrado, debemos usar la fórmula para encontrar la identidad saliente del cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia:
Resolviendo ejercicios de factorización: Una forma muy sencilla para ecuaciones cuadraticas
Ejemplo x 2 + 5 x + 6
Esta ecuación cuadrática tiene un coeficiente principal de 1, por lo que este es el caso simple de factorizar. Para comenzar, necesito encontrar factores de c = 6 que sumen b = 5. Tengo dos opciones, porque 6 factores como el producto de 2 y 3 o como el producto de 1 y 6.
Ahora, porque estoy multiplicando a un positivo seis, entonces mis factores tienen que tener el mismo signo; ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, porque así es como funcionan los negativos.
Comprobaré las sumas de los pares de factores potenciales para ver cuál funciona:
1 + 6 = 7
2 + 3 = 5
Como necesito mis factores para sumar más cinco, usaré los factores +2 y +3.
Debido a que el coeficiente principal es solo 1 , sé que el coeficiente principal de cada uno de esos binomios también debe haber sido solo 1 . Esto significa que el producto comenzó a parecerse a esto:
( x ) ( x )
Al final de cada paréntesis, vaya los números que se multiplican a +6 y se suman a +5. Esto significa que puedo terminar mi factorización conectando esos números a mis paréntesis, en cualquier orden:
( x + 2) ( x + 3)
Ejemplo 12x 3 + 6x 2 + 18x.
En este punto, no debería ser necesario enumerar los factores de cada término. Debería poder determinar mentalmente el mayor factor común. Un buen procedimiento a seguir es pensar en los elementos individualmente.
En otras palabras, no intente obtener todos los factores comunes a la vez, primero obtenga el número y luego cada letra involucrada. Por ejemplo, 6 es un factor de 12, 6 y 18, y x es un factor de cada término. Por lo tanto, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Multiplicando, obtenemos el original y podemos ver que los términos entre paréntesis no tienen otro factor común, por lo que sabemos que la solución es correcta.
Factorización por Agrupación
Objetivos
Al completar esta sección, debería poder:
Factoriza expresiones cuando el factor común involucra más de un término.
Factorizar por agrupación.
Una extensión de las ideas presentadas en la sección anterior se aplica a un método de factorización llamado agrupación.
Primero debemos tener en cuenta que un factor común no necesita ser un solo término. Por ejemplo, en la expresión 2y (x+3) + 5(x+3) tenemos dos términos. Son 2y (x+3) y 5(x+3). En cada uno de estos términos tenemos un factor (x+3) que se compone de términos. Este factor (x+3) es un factor común.
A veces, cuando hay cuatro o más términos, debemos insertar un paso intermedio o dos para factorizar.
Solución
Primero tenga en cuenta que no los cuatro términos en la expresión tienen un factor común, pero que algunos de ellos sí. Por ejemplo, podemos factorizar 3 a partir de los dos primeros términos, dando 3 (ax+2y). Si factorizamos a partir de los dos términos restantes, obtenemos a (ax+ 2y). La expresión ahora es 3 (ax+2y) + a (ax+2y), y tenemos un factor común de (ax + 2y) y podemos factorizar como (ax+2y) (3+a). Multiplicando (ax+2y)(3+a), obtenemos la expresión original 3ax + 6y + a2 x + 2ay y vemos que la factorización es correcta.
Este es un ejemplo de factorización por agrupación ya que «agrupamos» los términos de dos en dos.
Multiplique (x-y)(a+2) y vea si obtiene la expresión original. Nuevamente, multiplique como un cheque.
A veces, los términos primero deben reorganizarse antes de poder factorizar por agrupación.
Ejemplo 3ax + 2y + 3ay + 2x
Los primeros dos términos no tienen un factor común, pero el primero y el tercero sí, así que los reorganizaremos para colocar el tercer término después del primero. Siempre mire hacia adelante para ver el orden en que se pueden organizar los términos.
3ax + 2y + 3ay + 2x = 3ax + 3ay + 2x + 2y
= 3a (x + y) + 2(y + x)
= (3a + 2)(x + y)
En todos los casos, es importante asegurarse de que los factores entre paréntesis sean exactamente iguales. Esto puede requerir factorizar un número o letra negativo.
Trinomiales de Factorización
Una gran cantidad de problemas futuros implicarán factorizar trinomios como productos de dos binomios. En el capítulo anterior aprendiste a multiplicar polinomios. Ahora deseamos ver el caso especial de multiplicar dos binomios y desarrollar un patrón para este tipo de multiplicación.
Ejemplo (2x + 3) (3x – 4)
(2x + 3) (3x – 4) = 2x(3x-4) + 3(3x-4)
= 6x 2 -8x + 9x – 12
= 6x 2 + x – 12
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(2x)(3x)= 6x 2
4*3= 12
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 3*3x + 2x*-4.
Ejemplo x2 + 11x + 24
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(x)(x)= x 2
3*8= 24
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 8*x y 3*x.
Dando como factorización (x+3)(x+8)
Ejemplo x2 + 11x + 24
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(x)(x)= x 2
3*8= 24
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: -8*x y -3*x.
Dando como factorización (x-3)(x-8)
Ejemplo x2 – 5x – 24
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(x)(x)= x 2
3*-8= -24
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: -8*x y 3*x.
Dando como factorización (x+3)(x-8)
Los siguientes puntos ayudarán a la hora de factorizar trinomios:
Cuando el signo del tercer término es positivo, ambos signos en los factores deben ser iguales y deben ser como el signo del término medio.
Cuando el signo del último término es negativo, los signos en los factores deben ser diferentes, y el signo del más grande debe ser como el signo del término medio.
Después de hacer el conjunto de ejercicios anterior, ahora podemos probar realizar ejercicios más difíciles.
Ejemplo 6x2 + 17x + 12
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(2x)(3x)= 6x 2
3*4= 12
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 2x*4 y 3*3x.
Dando como factorización (2x+3)(3x+4)
Ejemplo 6x2 – 21x + 15
Solución
Primero debemos analizar el problema.
El último término es positivo, por lo que dos son signos similares.
El término medio es negativo, por lo que ambos signos serán negativos.
Los factores de 6×2 son x, 2x, 3x, 6x. Los factores de 15 son 1, 3, 5, 15.
Elimine como demasiado grande el producto de 15 con 2x, 3x o 6x. Prueba algunas combinaciones razonables.
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(3x)(2x)= 6x 2
-3*-5= 15
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 3x*-5 y -3*2x.
Dando como factorización (3x-3)(2x-5)
Diferencias de dos cuadrados perfectos.
En esta sección deseamos examinar algunos casos especiales de factorización que ocurren a menudo en problemas. Si se reconocen estos casos especiales, la factorización se simplifica enormemente. El primer caso especial que discutiremos es la diferencia de dos cuadrados perfectos.
Recuerde que al multiplicar dos binomios por el patrón, el término medio proviene de la suma de dos productos. Por nuestra experiencia con los números, sabemos que la suma de dos números es cero solo si los dos números son negativos entre sí.
La fórmula para la multiplicación de diferencias de cuadrados perfectos es la siguiente:
