Los ejercicios factor común son expresiones algebraicas tienen la posibilidad de ser factorizadas al descubrir el elemento común de todos los términos. Después de que encontremos el componente común, sencillamente tenemos que redactar el componente común seguido de paréntesis. En aquellos paréntesis, escribimos cada término cuando fue dividido por el elemento común.
En seguida, miraremos un resumen del elemento común y el conocimiento utilizado para sustraer componentes de expresiones algebraicas. Además exploraremos diversos ejercicios de factor común resueltos para dominar este criterio.
Factorizar una expresión o un número significa redactar dicha expresión o aquel número como una multiplicación de componentes. Entonces, es lo inverso a multiplicar factorizar.
Ejercicios factor común resueltos
Los próximos ejercicios de factor común poseen su respectiva solución. Puedes intentar solucionar los ejercicios tú mismo anterior a observar la solución.
Ejercicios factor común 1: Factoriza la expresión 10X-5Y+15Z
Solución
En esta situación, el 5 es un elemento común de todos los términos. Entonces, escribimos al 5 en la izquierda de los paréntesis:
10X-5Y+15Z=5*(2X-Y+3Z)
Para comprobar la factorización, tenemos la posibilidad de multiplicar y agrandar el paréntesis. Deberíamos obtener la expresión original, al hacer esto.
Asegúrate de que, la expresión dentro del paréntesis no debería tener otros componentes usuales.
Ejercicio 2: Factoriza la expresión -6a^2-9ab-3ac
Solución
En esta situación, el 3a es un componente común de todos los términos. Entonces, escribimos al 3a en la izquierda de los paréntesis:
-6a^2-9ab-3ac=3*(-2a-3b-c)
Para revisar la factorización, tenemos la posibilidad de multiplicar y agrandar el paréntesis. Deberíamos obtener la expresión original, al hacer esto.
Asegúrate de que, la expresión dentro del paréntesis no debería tener otros componentes usuales.
Ejercicios factor común 3: Factoriza la expresión 12X^2+24X
Solución
En esta situación, el 6X es un componente común de todos los términos. Entonces, escribimos al 6X en la izquierda de los paréntesis:
12X^2+24X =12X*(X+2)
Para revisar la factorización, tenemos la posibilidad de multiplicar y ampliar el paréntesis. Deberíamos obtener la expresión original, al hacer esto.
Asegúrate de que, la expresión dentro del paréntesis no debería tener otros componentes usuales.
Ejercicio 4: Factoriza la expresión 14X^2+21X
[expand title=»
Ejercicio 4: Factoriza la expresión 14X^2+21X
«]
Solución
En esta situación, el 7X es un componente común de todos los términos. Entonces, escribimos al 7X en la izquierda de los paréntesis:
14X^2+21X =7X*(2X+3)
Para comprobar la factorización, tenemos la posibilidad de multiplicar y agrandar el paréntesis. Deberíamos obtener la expresión original, al hacer esto.
[/expand]
Asegúrate de que, la expresión dentro del paréntesis no debería tener otros componentes usuales.
Ejercicio 4: Factoriza la expresión 14X^2+21X
[expand title=»
Ejercicio 4: Factoriza la expresión 14X^2+21X
«]
Solución
En esta situación, el 7X es un componente común de todos los términos. Entonces, escribimos al 7X en la izquierda de los paréntesis:
14X^2+21X =7X*(2X+3)
Para comprobar la factorización, tenemos la posibilidad de multiplicar y agrandar el paréntesis. Deberíamos obtener la expresión original, al hacer esto.
[/expand]
Asegúrate de que, la expresión dentro del paréntesis no debería tener otros componentes usuales.
¿Que es un factor Común? El componente común es un caso de factorización que se basa en detectar un componente que se repita en todos los términos del polinomio dado. A este componente se le llama elemento o factor común.
La factorización por componente común se apoya en detectar un componente que se repita en los términos del polinomio. Ejemplo: ax+bx = x(a+b), púes: ‘x’ es el elemento común.
La Factorización por factor Común es uno de los procedimientos de factorización más usados y esta con base en la propiedad distributiva de los números reales; sin embargo de manera contraria.
ab+ac=a(b+c)
Observe que el componente común es la constante «a»
Note en la figura, como la factorización fue expresado como el componente común: «a» multiplicado por otro componente: «(b+c)»
Luego de conocer la definición y la figura que se muestra, tenemos la posibilidad de mencionar que no va a ser bastante difícil reconocer el Componente Común en un Polinomio.
Ejemplos de Componente Común
Para reforzar esta teoría observaremos 4 ejemplos de elemento común paso a paso.
Ejemplo 1:
Factorizar la siguiente expresión: 5ab + 7a
Resolución:
Escribimos nuevamente el binomio: 5ab + 7a
Y precisamente vemos que el componente común de los dos términos es «a»
Factorizando, poseemos: a(5b + 7)
Se concluye que la expresión «E» queda factorizado por 2 componentes primos: «a» y «(5b+7)».
Ejemplo 2:
Aplicar la factorización por componente común en: 5x² + 3xy – 4x
Resolución:
Sabemos que: x² = x*x
Entonces tenemos la posibilidad de redactar «P» de esta forma:
P = 5x*x + 3x*y – 4x
De nuevo identificamos el componente común en el trinomio (tres términos algebraicos), podría ser: «x».
Factorizando: x(5x + 3y – 4)
Por consiguiente, el Polinomio inicial queda factorizado en 2 componentes primos: x; (5x + 3y – 4)
¿Que es un factor Común? Ejemplo 3:
Factorizar: x² + 3x³y + 4x
Resolución:
El componente común de este polinomio va a ser: «x» (el componente común de menor exponente).
Entonces la factorización va a ser: x(x + 3x²y + 4)
¿Que es un factor Común? .Ejemplo 4:
Factorizar: ab8 – 7a³b² – ab6 + a²b5
Resolución:
Observe lo peculiar de este ejemplo, se nota que en todos los términos del polinomio el elemento común está compuesto de a y b.
En este artículo, explicamos qué es un trinomio cuadrado perfecto y cómo descomponerlo para factorizar trinomios. Además, podrás ver algunos ejemplos y practicar resolviendo el trinomio cuadrado perfecto de manera detallada.
¿Cuál es el trinomio cuadrado perfecto?
Obviamente, antes de comprender el significado del trinomio cuadrado perfecto, debes saber qué es un trinomio, el tipo de trinomio algebraico y que es factorización.
Por lo tanto, la definición es la siguiente: En matemáticas, el trinomio cuadrado perfecto (también conocido como TCP) es un trinomio obtenido al elevar al cuadrado un binomio. Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos, y el otro polinomio es el producto de las bases de estos cuadrados.
Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos, y el otro polinomio es el producto de las bases de estos cuadrados.
Trinomio cuadrado
(a+b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b) ^ 2 = a^2 -2ab + b^2
Como puede verse en las dos fórmulas anteriores, el trinomio cuadrado perfecto se obtiene a partir de dos identidades bien conocidas (o productos bien conocidos), razón por la cual es tan importante.
Específicamente, cuando se resuelve el cuadrado de la suma o el cuadrado de la resta, se encuentra un trinomio cuadrado ideal.
Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto para comprender completamente el concepto, explicaremos dos ejemplos paso a paso:
Ejemplo 1: X^2+10X+25=(X+5)^2
Este ejemplo es un trinomio cuadrado perfecto porque hay dos cuadrados perfectos en su expresión algebraica (es decir, tienen raíces cuadradas exactas), porque X^2 y 9 son equivalentes a X y 5 elevados a 2 respectivamente, por lo que para factorizar trinomios se deberá hacer lo siguiente:
Caso: (X)^2 = X^2 (5)^2=25
Además, el último término restante del trinomio se obtiene multiplicando las bases de los dos cuadrados precedentes entre sí y multiplicando por: 2*X*53 = 10 veces.
Por lo tanto, la identidad sobresaliente general en este ejercicio (el trinomio factorizado) es: (X+5)^2 = X^2+10X +25
Ejemplo 2: 4X^4-12X^2*Y^3+9Y^6
Este otro ejemplo también es un trinomio cuadrado ideal porque se cumplen tres condiciones necesarias: dos términos corresponden a dos cuadrados ideales, y el otro término es el resultado de multiplicar las bases de estos cuadrados por dos.
(2X^2)^2=4X^4 (3Y^3)^2=9Y^6 2*2X^2 veces*3Y^3 = 12X^2Y^3 veces
En este caso, el trinomio cuadrado perfecto (el trinomio factorizado) tiene un monomio negativo, por lo que corresponde al desarrollo de una ecuación significativa para la diferencia al cuadrado:
4X^4-12X^2*Y^3+9Y^6 = (2X^2-3Y^3)^2
Cómo factorizar un trinomio cuadrado
En álgebra, un problema muy común es descomponer un trinomio cuadrado (TCP). Si no sabe lo que significa, descomponer un polinomio significa convertir su expresión en un producto de factores.
Por lo tanto, para considerar tales trinomios algebraicos, se deben cumplir las siguientes reglas:
El trinomio debe tener dos cuadrados perfectos, que llamamos y a ^ 2 y b ^ 2.
Ahora el tercer término restante del trinomio debe ser igual al producto doble de las bases de dos cuadrados perfectos, que corresponde matemáticamente a la expresión 2ab.
Si todos los términos del trinomio cuadrado perfecto son positivos, el trinomio factorial será (a + b) ^ 2; de lo contrario, si la raíz cuadrada del segundo producto es negativa, el trinomio factorial será (ab)^2.
Para completar la comprensión del programa, poco a poco resolveremos un ejercicio:
Ejemplo3 : 9X^2-24X+16
Lo primero que debemos hacer es determinar si el trinomio tiene dos elementos que son cuadrados perfectos, es decir, su raíz cuadrada no da un número decimal. En este problema, (3X)^2 es el cuadrado de la variable y 16 es el cuadrado de 4:
Raíz(9X^2)=3X
Raíz (16)=4
Por tanto, el trinomio tiene dos cuadrados perfectos.
En segundo lugar, debemos comprobar si el término intermedio es igual al producto doble de las dos raíces calculado en el paso anterior:
2*3X*4=24X
Esta regla también es correcta.
Entonces se cumplen todas las condiciones. Por lo tanto, el trinomio cuadrado factorizado es un binomio formado por las dos raíces encontradas y el cuadrado del número:
9X^2-24X+16=(3X-4)^2
Dado que el término medio es un número negativo, también debemos agregar un signo menos entre paréntesis. Por otro lado, si es positivo, tendremos que sumar:
9X^2-24X+16=(3X-4)^2
Hablando lógicamente, la descomposición es un proceso complejo, así que además de probar los siguientes ejercicios, te sugiero que revises estos ejemplos de polinomios de descomposición.
Problema resuelto del trinomio cuadrado perfecto
Convierta los siguientes trinomios en binomios cuadrados aplicando las fórmulas correspondientes:
4X^6 – 28X^4 + 49^2
9m^2 – 6mn + n^2
25a^4 – 200a^2b + 4b^2
m^2 – 8m + 16
9X^2 + 12XY + Y^2
Solución:
Para convertir un trinomio al cuadrado perfecto a la potencia de un binomio al cuadrado, debemos usar la fórmula para encontrar la identidad saliente del cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia:
¿Como se factoriza una ecuacion? Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones:
2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
(x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar. Existen varios casos de factorización:
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+ bx + c
Ejemplo N° 3:
Factoriza 2x2 – 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x
2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1
3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 ) pero no sirve pues da: 2x2 + 7x + 5 se reemplaza por ( 2x – 1 )( x – 5 ) y en este caso nos da : 2x2 – 11x + 5
¿Como se factoriza una ecuacion? FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
Ejemplo N° 4:
Factorizar 9x2 – 16y2
Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x · 3x y el segundo término – 16y2 se factoriza en +4y · -4y luego la factorización de 9x2 – 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x – 4y )
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo N° 5:
Factorizar 9x2 – 30x + 25 =
1° Halla la raíz principal del primer término 9x2 :3x · 3x
2° Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término -5 · -5 luego la factorización de 9x2 – 30x + 25 = (3x – 5 )( 3x – 5 ) = ( 3x – 5 )2
¿Como se factoriza polinomios? Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones:
2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
(x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar. Existen varios casos de factorización:
Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio:
Ejemplo N° 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y – 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y – 6· 4z = 6(2x + 3y – 4z)
Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 – 15ab – 10 ac
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto 5a2 – 15ab – 10 ac = 5a·a – 5a·3b – 5a · 2c = 5a(a – 3b – 2c )
Ejemplo N° 3 : ¿Cuál es el factor común en 6x2y – 30xy2 + 12x2y2
El factor común es “6xy “ porque 6x2y – 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x – 5y + 2xy )
El saber como factorizar polinomios consiste en encontrar polinomios que multiplicados den como resultado al polinomio original, respectivamente. La factorización es básicamente la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.
Los pasos para poder factorizar son los siguientes:
El trinomio debe ordenarse, en potencias descendentes.
Dos de los términos de ese binomio deben ser cuadrados perfectos.
El segundo término debe ser igual al doble producto de las raíces cuadradas de los otros dos.
A continuación se pueden apreciar 3 ejercicios referentes a como factorizar polinomios:
Ejemplo 1: Factorizar m^2 – 7m + 12
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (m^2), o sea m. En el primer binomio después de m se escribe el signo del segundo término del trinomio; es decir signo negativo. En el segundo binomio después de m se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio; es decir negativo por positivo que da negativo. Ahora, buscamos dos números que sumados den –7 y multiplicados den 12. Esos números son –3 y – 4, por lo tanto la factorización será:
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (m^2), o sea m. En el primer binomio después de m se escribe el signo del segundo término del trinomio; es decir signo negativo. En el segundo binomio después de m se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio; es decir negativo por positivo que da negativo. Ahora, buscamos dos números que sumados den –7 y multiplicados den 10. Esos números son –2 y – 5, por lo tanto la factorización será:
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio (m^2), o sea m. En el primer binomio después de m se escribe el signo del segundo término del trinomio; es decir signo negativo. En el segundo binomio después de m se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio; es decir negativo por positivo que da negativo. Ahora, buscamos dos números que sumados den –11 y multiplicados den 28. Esos números son –4 y – 7, por lo tanto la factorización será:
Factorizar polinomios de una expresión algebraica, es un proceso que consiste en expresar una suma o diferencia de términos como el producto de dos o más factores.
Existen diferentes tipos de factorización, entre los más importantes tenemos:
Suma o diferencia de cubos.
Suma o diferencia de potencias impares iguales.
Trinomio cuadrado perfecto, de la forma x²+bx+c y de la forma ax²+bx+c.
Factor común.
A continuación se pueden apreciar 3 ejercicios referentes a factorizar polinomios:
Ejemplo 1: Factorizar la ecuación 2X^2 – 4X = 6
Para poder Factorizar el trinomio 2X^2 – 4X -6=0 deberemos calcular las dos raíces de esta ecuación con la utilización de la fórmula general de segundo grado que es:
X=[-b+/-Raiz(b^2-4ac)]/2a
Reemplazando los valores tenemos:
X=[-(-4)+/-Raiz(-4^2-4*2*-6)]/2*2
X=[4+/-Raiz(16+48)]/4
X=[4+/-Raiz(64)]/4
X=[4+/-8]/4
Primer resultado sera X=12/4=3 y el segundo resultado será X=-4/4=-1
Las raíces de la ecuación 2X^2 – 4X – 6 = 0 son X = 3 y X = – 1. Conociendo las dos raíces, podemos decir que la factorización será:
Para poder Factorizar el trinomio X^2 + 10X + 8 deberemos calcular las dos raíces de esta ecuación con la utilización de la fórmula general de segundo grado que es:
X=[-b+/-Raiz(b^2-4ac)]/2a
Reemplazando los valores tenemos:
X=[-(10)+/-Raiz(10^2-4*1*8)]/2*1
X=[-10+/-Raiz(100-32)]/2
X=[-10+/-Raiz(68)]/2
Primer resultado sera X=-1 y el segundo resultado será X=-9
Las raíces de la ecuación X^2 +10X + 8 son X = -0,88 y X = -9,12. Conociendo las dos raíces, podemos decir que la factorización será:
Para poder Factorizar el trinomio X^2 + 56 – 15X deberemos calcular las dos raíces de esta ecuación con la utilización de la fórmula general de segundo grado que es:
X=[-b+/-Raiz(b^2-4ac)]/2a
Reemplazando los valores tenemos:
X=[-(-15)+/-Raiz(-15^2-4*1*56)]/2*1
X=[15+/-Raiz(225-224)]/-2
X=[15+/-Raiz(1)]/-2
X=[15+/-1]/-2
Primer resultado sera X=16/-1=-8 y el segundo resultado será X=-14/-1=-7
Las raíces de la ecuación -X^2 – 56-15X son X =-8 y X = -7. Conociendo las dos raíces, podemos decir que la factorización será:
Para saber como factorizar un polinomio lo que deberemos hacer es sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes. En resumen factorizar es escribir un número como la multiplicación de otros números. Por ejemplo, factorizamos el número 12 es 3*4.
A continuación se pueden apreciar 3 ejercicios referentes a como factorizar un polinomio:
Ejemplo 1: Factorizar m^2+2m+1
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Por lo tanto, la factorización dará como resultado:
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Por lo tanto, la factorización dará como resultado:
Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Por lo tanto, la factorización dará como resultado:
Los ejercicios de factorizacion son un proceso de poder ver una expresión en forma de multiplicación. A los factores se los conoce como los elementos de la multiplicación y el resultado que se tiene del mismo se conoce como producto.
El objetivo de la factorización es llevar un polinomio y expresarlo como el producto de sus factores.
Los ejercicios de factorizacion permiten escribir como multiplicación las expresiones de diferentes polinomios. Un producto multiplicado dará como resultado un polinomio.
Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como producto entre paréntesis. A continuación se pueden ver los siguientes ejercicios de factorizacion:
Ejercicio 1 ejercicios de factorizacion: Sabiendo que: a+b=1
Calcular
(a2+b)11 – (b2+a)11
Buscaremos poner la siguiente ecuación (a2+b)11– (b2+a)11 solamente en términos de una variable que será de a, para lo que reemplazaremos por b= 1 – a. De esta forma llegaremos a tener la siguiente ecuación:
Ejercicio 2 ejercicios de factorizacion: Factorizar la siguiente ecuación X^2 +5X+6
Para factorizar la siguiente ecuación X^2 +5X+6 se deberá buscar dos valores donde el producto de esos valores de como resultado el término independiente, es decir 6 y la suma de esos valores pueda dar el término de 5X. Por lo que el producto será el siguiente:
Ejercicio 3: Factorizar la siguiente ecuación X^4 +10X^2+ 9
Para factorizar la siguiente ecuación X^4 +10X^2+ 9 inicialmente se deberá realizar un cambio de variable; donde X^2=t de esa manera obtendremos la siguiente ecuación t^2 +10t+ 9.
Para poder factorizar la ecuación planteada, se deberá encontrar dos números que sumados den un valor de 10 y multiplicados den un valor de 9. Esos números serán el 9 y el 1, por lo que quedará la factorización dela siguiente forma:
(t+9)(t+1) = t^2 + 10t + 9
Volviendo a hacer el cambio de variable por X tendremos:
(X^2+9)(X^2+1)
Para la parte de la factorización de X^2+9, deberé encontrar dos números que multiplicados me den 9 y sumados me den 0; los cuales serán de -3 y 3.
Para la parte de la factorización de X^2+1, deberé encontrar dos números que multiplicados me den 9 y sumados me den 0; los cuales serán de -1 y 1.
La factorización consiste en poner en producto una expresión algebraica. Los ejercicios para factorizar son la operación inversa en la que se transforma una suma en un producto. Las factorizaciones más conocidas son: La factorización buscando factores comunes la factorización usando productos notables y la factorización de polinomios de segundo grado.
Al factorizar se presenta una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.
El objetivo de la factorizar es expresar una expresión algebraica compleja en un producto de sus factores. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.
Recomendaciones para ejercicios para factorizar
Observar si hay un factor común que se repita en los diferentes términos.
Ordenar la expresión, ya que de forma ordenada podremos ver las posibilidades de factorización.
Verifica si la expresión es factorizable (hay expresiones que no se pueden factorizar.
Tipos de factorización
A continuación vemos los distintos tipos de factorizaciones que existen, estos son:
Intentemos factorizar la siguiente expresión: 10X2 -60X + 90
Ejemplo 1: Primero para que intentemos factorizar la expresión, se debe establecer si la expresión de 10X2 – 60X + 90 que se quiere factorizar tiene la forma X2 +(a+b)X + ab. En este momento no tiene la forma requerida, pero para que tenga esa forma inicialmente se factorizo el 10 quedando la expresión de la siguiente manera:
10(X2 – 6X + 9).
Ahora si se tiene la expresión X2 +(a+b)X + ab, de donde se dice que (X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab. Es decir que buscamos dos número a y b que sumados entre si nos da el valor central de la expresión y al multiplicarlos nos pueda dar, el valor final del mismo.
10(X2 – 6X + 9).
Entonces para el caso específico de este ejercicio lo que se pregunta es dos números que sumados me den -6 y que multiplicados me den +9.
Esos dos números que buscamos son el -3 y el -3. Comprobando -3 más -3 es -6 y -3 por -3 es 9. Por lo tanto a= -3 y b= -3.
Entonces colocamos los valores en la forma que tiene la ecuación que dice.
(X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab.
Reemplazando los valores de a y b tenemos.
(X-3)(X-3) = X2 +(-3-3)X + -3*-3
Por lo que la factorización quedara de la siguiente manera:
(X-3)(X-3) = X2 -6X + 9
Es decir (X-3)2
No debemos olvidarnos del 10 que habíamos factorizado inicialmente. Por lo que finalmente la factorización quedara de la siguiente manera:
La expresión de X2 – X – 6 que se quiere factorizar tiene la forma X2 +(a+b)X + ab. Donde se dice que (X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab. Es decir que buscamos dos número a y b que sumados entre si nos da el valor central de la expresión y al multiplicarlos nos pueda dar, el valor final del mismo.
Entonces para el caso específico de este ejercicio lo que se pregunta es dos números que sumados me den -1 que multiplicados me den -6.
Esos dos números que buscamos son el -3 y el 2. Comprobando -3 más 2 es 1 y -3 por 2 es -6. Por lo tanto a= -3 y b=2.
Entonces colocamos los valores en la forma que tiene la ecuación que dice.
(X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab.
Reemplazando los valores de a y b tenemos.
(X-3)(X+2) = X2 +(-3+2)X + -3*2
Por lo que la factorización quedara de la siguiente manera:
Ejemplo 1: La expresión de X2 + 2X – 8 que se quiere factorizar tiene la forma X2 +(a+b)X + ab. Donde se dice que (X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab. Es decir que buscamos dos número a y b que sumados entre si nos da el valor central de la expresión y al multiplicarlos nos pueda dar, el valor final del mismo.
Entonces para el caso específico de este ejercicio lo que se pregunta es dos números que sumados me den -2 que multiplicados me den -8.
Esos dos números que buscamos son el -2 y el 4. Comprobando -2 más 4 es 2 y -2 por 4 es -8. Por lo tanto a= -2 y b=4.
Entonces colocamos los valores en la forma que tiene la ecuación que dice.
(X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab.
Reemplazando los valores de a y b tenemos.
(X-2)(X+4) = X2 +(-2+4)X + -2*4
Por lo que la factorización quedara de la siguiente manera:
(X-2)(X+4) = X2 +2X – 8
Ejemplo 2: La expresión de X2 + 7X + 10 que se quiere factorizar tiene la forma X2 +(a+b)X + ab. Donde se dice que (X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab. Es decir que buscamos dos número a y b que sumados entre si nos da el valor central de la expresión y al multiplicarlos nos pueda dar, el valor final del mismo.
Entonces para el caso específico de este ejercicio lo que se pregunta es dos números que sumados me den 7 que multiplicados me den 10.
Esos dos números que buscamos son el 5 y el 2. Comprobando 5 más 2 es 7 y 5 por 2 es 10. Por lo tanto a= 5 y b=2.
Entonces colocamos los valores en la forma que tiene la ecuación que dice.
(X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab.
Reemplazando los valores de a y b tenemos.
(X+5)(X+2) = X2 +(5+2)X + 5*2
Por lo que la factorización quedara de la siguiente manera:
La expresión de X2 + 7X + 10 que se quiere factorizar tiene la forma X2 +(a+b)X + ab. Donde se dice que (X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab. Es decir que buscamos dos número a y b que sumados entre si nos da el valor central de la expresión y al multiplicarlos nos pueda dar, el valor final del mismo.
Entonces para el caso específico de este ejercicio lo que se pregunta es dos números que sumados me den 7 que multiplicados me den 10.
Esos dos números que buscamos son el 5 y el 2. Comprobando 5 más 2 es 7 y 5 por 2 es 10. Por lo tanto a= 5 y b=2.
Entonces colocamos los valores en la forma que tiene la ecuación que dice.
(X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab.
Reemplazando los valores de a y b tenemos.
(X+5)(X+2) = X2 +(5+2)X + 5*2
Por lo que la factorización quedara de la siguiente manera:
(X+5)(X+2) = X2 +7X + 10
Ejemplo 2:Factorizar la siguiente expresión X2 +2X – 8
La expresión de X2 + 2X – 8 que se quiere factorizar tiene la forma X2 +(a+b)X + ab. Donde se dice que (X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab. Es decir que buscamos dos número a y b que sumados entre si nos da el valor central de la expresión y al multiplicarlos nos pueda dar, el valor final del mismo.
Entonces para el caso específico de este ejercicio lo que se pregunta es dos números que sumados me den -2 que multiplicados me den -8.
Esos dos números que buscamos son el -2 y el 4. Comprobando -2 más 4 es 2 y -2 por 4 es -8. Por lo tanto a= -2 y b=4.
Entonces colocamos los valores en la forma que tiene la ecuación que dice.
(X+a)(X+b) = X2 +(a+b)X + ab.
Reemplazando los valores de a y b tenemos.
(X-2)(X+4) = X2 +(-2+4)X + -2*4
Por lo que la factorización quedara de la siguiente manera:
La expresión que se quiere factorizar es la siguiente: 4X2 – 12XY + 9Y2. Esta expresión es un cuadrado perfecto, ya que tiene la siguiente característica.
(a+b)2 = a2 +2ab + b2 (1)
(a-b)2 = a2 -2ab + b2 (2)
En este caso utilizaremos la segunda forma de cuadrado perfecto ya que el valor del medio es negativo, es decir:
(a-b)2 = a2 -2ab + b2. Por lo tanto:
a2= 4X2
-2ab=– 12XY
b2= + 9Y2
Llegándose a transformar de la siguiente manera:
(2X)2 -2*2X*3Y + (3Y)2
Por lo tanto, la factorización de la expresión será la siguiente:
Resolviendo ejercicios de factorización: Una forma muy sencilla para ecuaciones cuadraticas
Ejemplo x 2 + 5 x + 6
Esta ecuación cuadrática tiene un coeficiente principal de 1, por lo que este es el caso simple de factorizar. Para comenzar, necesito encontrar factores de c = 6 que sumen b = 5. Tengo dos opciones, porque 6 factores como el producto de 2 y 3 o como el producto de 1 y 6.
Ahora, porque estoy multiplicando a un positivo seis, entonces mis factores tienen que tener el mismo signo; ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, porque así es como funcionan los negativos.
Comprobaré las sumas de los pares de factores potenciales para ver cuál funciona:
1 + 6 = 7
2 + 3 = 5
Como necesito mis factores para sumar más cinco, usaré los factores +2 y +3.
Debido a que el coeficiente principal es solo 1 , sé que el coeficiente principal de cada uno de esos binomios también debe haber sido solo 1 . Esto significa que el producto comenzó a parecerse a esto:
( x ) ( x )
Al final de cada paréntesis, vaya los números que se multiplican a +6 y se suman a +5. Esto significa que puedo terminar mi factorización conectando esos números a mis paréntesis, en cualquier orden:
( x + 2) ( x + 3)
Ejemplo 12x 3 + 6x 2 + 18x.
En este punto, no debería ser necesario enumerar los factores de cada término. Debería poder determinar mentalmente el mayor factor común. Un buen procedimiento a seguir es pensar en los elementos individualmente.
En otras palabras, no intente obtener todos los factores comunes a la vez, primero obtenga el número y luego cada letra involucrada. Por ejemplo, 6 es un factor de 12, 6 y 18, y x es un factor de cada término. Por lo tanto, 12x 3 + 6x 2 + 18x = 6x (2x 2 + x + 3). Multiplicando, obtenemos el original y podemos ver que los términos entre paréntesis no tienen otro factor común, por lo que sabemos que la solución es correcta.
Factorización por Agrupación
Objetivos
Al completar esta sección, debería poder:
Factoriza expresiones cuando el factor común involucra más de un término.
Factorizar por agrupación.
Una extensión de las ideas presentadas en la sección anterior se aplica a un método de factorización llamado agrupación.
Primero debemos tener en cuenta que un factor común no necesita ser un solo término. Por ejemplo, en la expresión 2y (x+3) + 5(x+3) tenemos dos términos. Son 2y (x+3) y 5(x+3). En cada uno de estos términos tenemos un factor (x+3) que se compone de términos. Este factor (x+3) es un factor común.
A veces, cuando hay cuatro o más términos, debemos insertar un paso intermedio o dos para factorizar.
Solución
Primero tenga en cuenta que no los cuatro términos en la expresión tienen un factor común, pero que algunos de ellos sí. Por ejemplo, podemos factorizar 3 a partir de los dos primeros términos, dando 3 (ax+2y). Si factorizamos a partir de los dos términos restantes, obtenemos a (ax+ 2y). La expresión ahora es 3 (ax+2y) + a (ax+2y), y tenemos un factor común de (ax + 2y) y podemos factorizar como (ax+2y) (3+a). Multiplicando (ax+2y)(3+a), obtenemos la expresión original 3ax + 6y + a2 x + 2ay y vemos que la factorización es correcta.
Este es un ejemplo de factorización por agrupación ya que «agrupamos» los términos de dos en dos.
Multiplique (x-y)(a+2) y vea si obtiene la expresión original. Nuevamente, multiplique como un cheque.
A veces, los términos primero deben reorganizarse antes de poder factorizar por agrupación.
Ejemplo 3ax + 2y + 3ay + 2x
Los primeros dos términos no tienen un factor común, pero el primero y el tercero sí, así que los reorganizaremos para colocar el tercer término después del primero. Siempre mire hacia adelante para ver el orden en que se pueden organizar los términos.
3ax + 2y + 3ay + 2x = 3ax + 3ay + 2x + 2y
= 3a (x + y) + 2(y + x)
= (3a + 2)(x + y)
En todos los casos, es importante asegurarse de que los factores entre paréntesis sean exactamente iguales. Esto puede requerir factorizar un número o letra negativo.
Trinomiales de Factorización
Una gran cantidad de problemas futuros implicarán factorizar trinomios como productos de dos binomios. En el capítulo anterior aprendiste a multiplicar polinomios. Ahora deseamos ver el caso especial de multiplicar dos binomios y desarrollar un patrón para este tipo de multiplicación.
Ejemplo (2x + 3) (3x – 4)
(2x + 3) (3x – 4) = 2x(3x-4) + 3(3x-4)
= 6x 2 -8x + 9x – 12
= 6x 2 + x – 12
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(2x)(3x)= 6x 2
4*3= 12
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 3*3x + 2x*-4.
Ejemplo x2 + 11x + 24
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(x)(x)= x 2
3*8= 24
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 8*x y 3*x.
Dando como factorización (x+3)(x+8)
Ejemplo x2 + 11x + 24
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(x)(x)= x 2
3*8= 24
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: -8*x y -3*x.
Dando como factorización (x-3)(x-8)
Ejemplo x2 – 5x – 24
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(x)(x)= x 2
3*-8= -24
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: -8*x y 3*x.
Dando como factorización (x+3)(x-8)
Los siguientes puntos ayudarán a la hora de factorizar trinomios:
Cuando el signo del tercer término es positivo, ambos signos en los factores deben ser iguales y deben ser como el signo del término medio.
Cuando el signo del último término es negativo, los signos en los factores deben ser diferentes, y el signo del más grande debe ser como el signo del término medio.
Después de hacer el conjunto de ejercicios anterior, ahora podemos probar realizar ejercicios más difíciles.
Ejemplo 6x2 + 17x + 12
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(2x)(3x)= 6x 2
3*4= 12
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 2x*4 y 3*3x.
Dando como factorización (2x+3)(3x+4)
Ejemplo 6x2 – 21x + 15
Solución
Primero debemos analizar el problema.
El último término es positivo, por lo que dos son signos similares.
El término medio es negativo, por lo que ambos signos serán negativos.
Los factores de 6×2 son x, 2x, 3x, 6x. Los factores de 15 son 1, 3, 5, 15.
Elimine como demasiado grande el producto de 15 con 2x, 3x o 6x. Prueba algunas combinaciones razonables.
Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:
(3x)(2x)= 6x 2
-3*-5= 15
Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 3x*-5 y -3*2x.
Dando como factorización (3x-3)(2x-5)
Diferencias de dos cuadrados perfectos.
En esta sección deseamos examinar algunos casos especiales de factorización que ocurren a menudo en problemas. Si se reconocen estos casos especiales, la factorización se simplifica enormemente. El primer caso especial que discutiremos es la diferencia de dos cuadrados perfectos.
Recuerde que al multiplicar dos binomios por el patrón, el término medio proviene de la suma de dos productos. Por nuestra experiencia con los números, sabemos que la suma de dos números es cero solo si los dos números son negativos entre sí.
La fórmula para la multiplicación de diferencias de cuadrados perfectos es la siguiente:
Para poder factorizar debe saber muy bien la multiplicación y división. Los factores de un número son simplemente cualquier número que se pueda multiplicar para crear ese número. También puede factorizar un número dividiéndolo repetidamente. Hay varios métodos que permiten factorizar de forma sencilla que puedes aprender rápidamente.
El proceso de factorización es esencial para la simplificación de muchas expresiones algebraicas y es una herramienta útil para resolver ecuaciones de mayor grado. De hecho, el proceso de factorización es tan importante que se puede lograr muy poco álgebra más allá de este punto sin comprenderlo.
Los términos se suman o restan y los factores se multiplican. Siguen tres definiciones importantes. Los términos aparecen en una suma o diferencia indicada. Los factores ocurren en un producto indicado. Una expresión está en forma factorizada solo si la expresión completa es un producto indicado.
El cambiar una expresión de una suma o diferencia de términos a un producto de factores se lo conoce como factorización.
Factores de un número
Puede encontrar los factores de un número al encontrar todos los términos que se multiplican para crear ese número. Por ejemplo, los factores de 14 son 1, 2, 7 y 14, ya que,
14 = 1 x 14 14 = 2 x 7
Para factorizar completamente un número, reduzca a sus factores que son números primos. Por ejemplo, 12 y 8 son factores de 92, ya que, 12 x 8 = 92.
Pero 12 y 8 no son números primos, porque tienen factores distintos de 1 y ellos mismos. Necesita factorizar 12 y 8 con el objeto de reducir 92 a sus factores primos,.
2×2 x 3 = 12 2 x 2 x 2 = 8
Entonces los factores primos de 48 son,
3 x 2 x 2 x 2 x 2×2 = 92
Árbol de Factores
Con el objeto de visualizar fácilmente y dividir un gran número en sus factores primos se debe ayudar usando un árbol de factorización. Debe poner el número a factorizar en la parte superior de la expresión y dividir en pasos por sus factores. Colocar los dos factores a continuación cuando divida un número,. Sigue dividiendo hasta que todos los números se hayan reducido a sus factores primos. Por ejemplo, puede factorizar 192 utilizando factores compuestos o primos.
Entonces los factores primos de 192 son,
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 192
Factorización con variables
Si una variable se multiplica por una constante, la variable es uno de los factores de la expresión. Por ejemplo,
4xy = 2 x 2 xy
En el caso de expresiones que incluyen variables y constantes puede también encontrar factores. Por ejemplo, puede factorizar la expresión 12y – 42 por 6, ya que 6 y 21 son divisibles por 6. Esto te deja con
12y – 42 = 6 (2y – 7)
Factores comunes más grandes
Una vez que haya comprendido los conceptos básicos de la factorización, es posible que se le presente un problema que le pida que encuentre el máximo factor común de dos números o expresiones. Puede encontrar el mayor factor común Si usted crea una lista de los factores de ambos números podrá ver que encontrará el mayor factor común. El mayor factor común es número más grande que aparece en ambas listas.
Por ejemplo,
Los factores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48
Los factores de 56 son 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 y 56
El número mayor de ambos conjuntos es 8 al comparar ambos conjuntos, en tal sentido es el factor mayor.
Factores cuadráticos o de trinomios
Un «cuadrático» es un polinomio que se parece a » ax2 + bx + c «, donde » a «, » b » y » c » son solo números.
Para el caso fácil de factorizar polinomios cuadráticos, necesitaremos encontrar dos números que se multipliquen para ser iguales al término constante c, y también sumarán igual a b, el coeficiente en el término x lineal en el medio.
Trinomios
Para terminar con un cuadrático que tenía un coeficiente principal de 1 (y sin fracciones), cada uno de los binomios originales también tenía que tener un coeficiente principal de 1.
Mirando dos binomios genéricos (usando la variable xy los números genéricos p y q), podemos multiplicar los binomios así:
(x+p) (x+q)
x2 + px + qx + pq
x2 + (p+q) x + pq
En lo anterior, (p+q) = b y pq = c de «x2 + bx + c». Esta multiplicación y simplificación explica por qué, para factorizar un cuadrático, tendremos que comenzar por encontrar los dos números que suman igual a b, donde esos números también se multiplican por igual a c. Es requerido por la lógica de factorización.
