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Matematicas 2021

Propiedades en potencias

Inicialmente calculamos potencias aplicando la definición de la operación de potenciación, después explicaremos y aplicaremos las siguientes propiedades en potencias:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

La potencia an representa el producto que tiene n veces el número a. El número a se llama base y el número n se llama exponente.

Ejemplo: potencias de 2:

2^1=2

2^2=2*2=4

2^3=2*2*2=8

2^4=2*2*2*2=16

Problema 1

Calcular las potencias 3^2, 5^3, 11^1, 7^0, 1^22, 6^2 y 0^20.

Solución

La potencia 3^2 (tres al cuadrado) es el producto de dos treses:

3^2 = 3*3=9

La potencia 5^3 (cinco al cubo) es el producto de tres cincos:

5^3 = 5*5*5=125

La potencia 11^1 (once elevado a uno) es el producto de un once:

11^1=11

La potencia 7^0 (siete elevado a cero) es el producto de cero sietes:

7^0=1

La potencia 1^22 (uno elevado a veintidós) es el producto de veintidós unos:

1^22=1*1*1*1—–=1

La potencia 6^2 (seis al cuadrado) es el producto de dos seises:

6^2=6*6=36

La potencia 0^20 (cero elevado a veinte) es el producto de veinte ceros:

0^20=0*0*0*0….=0

Por lo que hemos visto, podemos decir:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

Dicho en palabras,

  • Si la base de una potencia es 1, el resultado es 1.
  • Si el exponente de una potencia es 1, el resultado es la base.
  • Si el exponente de una potencia es 0 (y la base no es 0), el resultado es 1.
LEER  3 divertidos ejercicios de potencia matematica

Problema 2

Calcular las siguientes potencias de números negativos: (−1)^2, (−2)^3, (−5)^2 y (−1)^5.

Ayuda: utilizar la regla de los signos (el producto de números con el mismo signo es un número positivo y el producto de números con signos distintos es un número negativo).

Solución

La potencia (−1)^2 es el producto de dos unos negativos:

(−1)^2=

(−1)*(-1)=

=1

La potencia (−2)^3 es el producto de tres doses negativos:

(−2)^3=

(−2)*(−2)*(−2)^3=

=-8

La potencia (−5)^2 es el producto de dos cincos negativos:

(−5)^2=

(−5)*(−5)=

=25

La potencia (−1)^5 es el producto de cinco unos negativos:

(−1)^5=

(−1)*(−1)*(−1) *(−1) *(−1)=

=-1

Observad que si la base de una potencia es negativa:

  • El resultado es positivo si el exponente es par.
  • El resultado es negativo si el exponente es impar.

Esto puede resumirse como:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

Problema 3

Determinar (−3)^3 y (−5)^2.

Solución

La potencia (−3)^3 es el producto de tres treses negativos:

(−3)^3=

(−3)*(−3)*(−3)=

=-27

La potencia (−5)^2 es el producto de dos cincos negativos:

(−5)^2=

=(−5)*(−5)=

= 25 = 5^2

Exponente negativo

La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:

LEER  ¿Que es una potencia matematica?

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo −n es el inverso del número elevado a^n:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

Problema 4

Calcular las siguientes potencias con exponente negativo:

7^-1

5^-2

2^-3

(-3)^-2

(-1)^-5

(-2)^-3

Solución

La potencia 7^−1 es el inverso de 7:

7^-1 = 1/7

La potencia 5^−2 es el inverso de 5^2:

5^-2 =(1/5^2)= 1/25

La potencia 2^−3 es el inverso de 2^3:

2^-3= 1/(2^3) =1 /8

La potencia (−3)^−2 es el inverso de (−3)^2:

(-3)^-2 = 1/(-3)^2 = 1/9

La potencia (−1)^−5 es el inverso de (−1)^5:

(−1)^−5 = 1/(−1)^5

1/−1= −1

La potencia (−2)^−3 es el inverso de la potencia (−2)^3:

(−2)^−3 = 1/(−2)^3

= 1/-8 = -1/8

Producto y cociente de potencias

El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:

Potenciación: cálculo de potencias por definición y explicación y aplicación de las propiedades de las potencias: producto y cociente de potencias, potencia de una potencia, exponentes negativos, potencia de una fracción.... Ejercicios explicados para secundaria. ESO. Álgebra básica. Cálculo.

Problema 5

Calcular los siguientes productos de potencias:

2^2*2^2=

5^4*5^-1*5^2*5^-3=

2^2*3^2*2=

5^5 * 2^2 * 3^-1 * 5^-3 * 2^2 * 3=

LEER  ¿Como resolver operaciones algebraicas?

Los dos primeros productos se calculan rápidamente. El primero es el producto de dos potencias con base 2:

2^2*2^2=

2^(2+2)=

2^4=16

El segundo es el producto de cuatro potencias con base 5:

5^4*5^-1*5^2*5^-3=

5^(4-1+2-3)=

5^2=25

En el tercero tenemos dos bases distintas:

2^2 * 3^2 * 2=

2^(2+1)* 3^2=

2^3 * 3^2=

8*9=72

En el cuarto tenemos tres bases distintas:

5^5 * 2^2 * 3^-1 * 5^-3 * 2^2 * 3=

5^(5-3) * 2^(2-2) * 3^(-1+1) =

5^2 * 2^0 * 3^0 =

25*1*1=

25

 

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