Matematicas 2026

Categoría: Combinaciones

  • Ejercicios de Combinatoria

    Ejercicios de Combinatoria

    Los ejercicios de combinatoria estudian la cantidad de maneras diferentes en las que se pueden considerar conjuntos que se forman partiendo de elementos de un conjunto inicial. La Combinatoria es la parte de Matemáticas que se encarga de crear grupos de datos, objetos y llevar a cabo los cálculos necesarios.

    Un problema combinatorio suele consistir en establecer una regla acerca de la forma en la cual se deben dar las llamadas agrupaciones y determinar cuántas de ellas  satisfacen la regla. Se deben tener en cuenta las combinaciones, las variaciones y las permutaciones. En los problemas combinatorios hay varios conceptos claves que debemos distinguir:

    1 Población

    Es el conjunto de elementos que estamos estudiando. Denominaremos m al número de elementos de este conjunto.

    2 Muestra

    Es un subconjunto de la población. Denominaremos n al número de elementos que componen la muestra. Los diferentes tipos de muestra tienen dos aspectos:

    Orden: Los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

    Repetición: La posibilidad de repetición o no de los elementos.

    Variaciones  y  Combinaciones.

    Ejercicios de Variaciones

    Llamamos variaciones a los distintos grupos de elementos que podemos formar tomados de n en n de un total de m elementos.

    1 ¿Cuántos grupos de 2 cifras (n) podemos formar con las cifras 1,2,3 (m)?

    Los grupos de 2 elementos son: 12, 13, 21, 23, 31 y 32

    Vemos que con 3 cifras podemos formar 6 números diferentes de dos.

    V = n!/(n-r)!

    V = 3!/(2-1)! = 6

    Ejercicios de Combinatoria

    2 En una clase de danza hay 4 alumnos y se quiere formar un comité de 3 personas ¿De cuántas maneras distintas es posible?

    Si ordenamos de diferente manera los elementos en nuestra muestra se obtiene el mismo comité.

    Es decir, Ana, Rosa y Pedro forman el mismo comité que Pedro, Rosa y Ana.

    ¿Puede haber elementos repetidos en la muestra?

    No, puede haber elementos repetidos en la muestra.

    A partir de las siguientes fórmulas se puede calcular:

    P = n!/((n-r)!*r!)

    P = 4!/((4-3)!)/3!) = 4!/3! = 4

    A continuación se pueden ver ejercicios de combinatoria:

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  • Permutación versus combinación

    Permutación versus combinación

    Permutación versus combinación

    Permutación: conjunto de objetos en los que la posición (orden) es importante.

    Para una permutación, el trío de Juan, Alvin y Josie es DIFERENTE de Juan, Josie y Alvin.

    Es la elección de r cosas que quieres de un conjunto de n cosas sin reemplazo y donde las cuestiones de orden

    nPr = n!/r!(n-r)!

    Combinación: un conjunto de objetos en los que la posición (u orden) NO es importante.

    Para una combinación, el trío de Juan, Alvin y Josie es LO MISMO QUE Juan, Josie y Alvin.

    Es la elección de r cosas que quieres de un conjunto de n cosas sin reemplazo y donde el orden, no importa

    nCr = n!/r!(n-r)!

    Ejemplo 1:

    Evaluar 7 C 2

    7C2 = 7!/2!(7-2)! = 7*6*5*4*3*2*1/2*1(5*4*3*2*1)=.7*6/2)= 42/2= 21

    Observe cómo se produce la cancelación, dejando solo 2 de los términos factoriales en el numerador. Está surgiendo un patrón al encontrar una combinación como la que se ve en este problema, el segundo valor (2) le dirá cuántos términos factoriales usar en el numerador, y el denominador será simplemente el factorial del segundo valor.

    Ejemplo 2:

    ¿Cuál es el número total de posibles arreglos de 4 letras de las letras c, a, t, s,  si cada letra se usa solo una vez en cada arreglo?

    Esta es una situación de permutación.

    4P4 = 4*3*2*1 = 24

    4P4 = 4!/(4-4) !=4*3*2*1/1 = 24

    Ejemplo 3:

    Hay 12 perros y 14 gatos en un refugio. Encuentre la cantidad de formas en que el refugio puede seleccionar tres de estos animales para que aparezcan en una foto publicitaria si quieren dos perros y un gato. El orden no es importante en este problema.

    12C2 * 14C1 = (12*11/2)*(14/1) = 66*14 = 924

    Ejemplo 4:

    ¿De cuántas maneras puede un entrenador elegir tres nadadores entre cinco nadadores?

    Hay 5 nadadores para tomar 3 a la vez.

    Usando la fórmula:

    C(n.r) = P(n.r)/r! = n!/ (n-r)! *r!

    C(5.3) = P(5.3)/3! = 5*4*3/3*2*1 = 10

    El entrenador puede elegir a los nadadores de 10 maneras.

    Ejemplo 5:

    Seis amigos quieren jugar suficientes juegos de ajedrez para asegurarse de que todos jueguen con los demás. ¿Cuántos juegos tendrán que jugar?

    Hay 6 jugadores para tomar 2 a la vez.

    Usando la fórmula:

    C(6.2) = P(6,2)/2! = 6*5/2*1 = 15

    Tendrán que jugar 15 juegos.

    Ejemplo:

    En una lotería, cada boleto tiene 5 números de un dígito 0-9.

    a) Usted gana si su boleto tiene los dígitos en cualquier orden. ¿Cuáles son tus cambios para ganar?

    b) Ganaría solo si su boleto tiene los dígitos en el orden requerido. ¿Cuáles son tus posibilidades de ganar?

    Hay 10 dígitos para tomar 5 a la vez.

    Usando la fórmula:

    C(10.5) = P(10,5)/5! = 10*9*8*7*6/5! = 252

    Las posibilidades de ganar son 1 de 252.

    Dado que el orden importa, deberíamos usar permutación en lugar de combinación.

    P (10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240

    Las posibilidades de ganar son 1 de 30240.

  • ¿Qué son combinaciones? Resolvamos ejercicios

    ¿Qué son combinaciones? Resolvamos ejercicios

    ¿Qué son combinaciones? Resolvamos ejercicios

    Una combinación es una disposición de objetos donde el orden no importa. Se investigó y encontró una fórmula para calcular el número de combinaciones. Donde n representa la cantidad de elementos y r representa la cantidad de elementos elegidos a la vez.

    Una disposición de objetos en la que el orden no es importante se llama combinación. Esto es diferente de la permutación donde importa el orden. Por ejemplo, supongamos que estamos organizando las letras A, B y C. En una permutación, la disposición ABC y ACB son diferentes. Pero, en una combinación, los arreglos ABC y ACB son los mismos porque el orden no es importante.

    El número de combinaciones de n cosas tomadas r a la vez se escribe como C ( n, r ).

    La fórmula viene dada por:

    nCr = n!/r!(n-r)!

    Factorial

    Para calcular una combinación, debe saber cómo calcular un factorial. Un factorial es el producto de todos los enteros positivos iguales y menores que su número. Un factorial se escribe como el número seguido de un signo de exclamación. Por ejemplo, para escribir el factorial de 6, ¡escribirías 6!. Para calcular el factorial de 6, multiplicaría todos los enteros positivos iguales y menores que 6.

    6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

    Al multiplicar estos números, encontramos que 6! = 720. Veamos otro ejemplo de cómo escribiríamos y resolveríamos el factorial de 11. El factorial de 11 se escribiría como 11! Calcular:

    11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 39916800

    Ejercicios de Combinaciones

    Ejemplo

    Si se seleccionan 3 jugadores de un equipo de 9, ¿cuántas combinaciones diferentes son posibles?  Primero, necesitamos definir qué significa una combinación. En términos matemáticos, una combinación es un subconjunto de elementos de un conjunto más grande, de modo que el orden de los elementos no importa. Por ejemplo, si John, Fred y Bill son seleccionados del equipo, se considera la misma combinación que Fred, John y Bill.

    Ahora, ¿cómo calculamos el número de combinaciones posibles? Use la siguiente fórmula:

    nCr = n!/r!(n-r)!

    El resto de la fórmula es más sencilla. Recuerda que el factorial es el producto de ese número y todos los enteros positivos menores que él. Por ejemplo, 4! = 4 * 3 * 2 * 1.

    En el ejemplo original se quería el número de combinaciones al seleccionar 3 de 9:

    = 9!/3!(9-3)! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1/3*2*1(6*5*4*3*2*1)

    = 9*8*7/3*2*1 = 504/6 = 84

    Observe cómo se canceló una buena parte de la multiplicación. No hay necesidad de calcular 9! todo el camino cuando el 6! a continuación, cancelará todo excepto 9 * 8 * 7. Al final, vemos que hay 84 formas de elegir a 3 personas de un grupo de 9 siempre que el orden no importe.

    Ejemplo

    Si un viajero tiene la opción de visitar 6 de los 50 estados de los Estados Unidos, pero no le importa en qué orden, ¿cuántos viajes diferentes son posibles? Ignore, por supuesto, el hecho de que muchas de estas combinaciones serían muy aleatorias e innecesariamente complicadas.

    El problema es una combinación simple. Hay 50 estados en total, y debemos seleccionar 6:

    = 50!/6!(50-6)!

    = 50*49*48*47*46*45/6*5*4*3*2

    = 15890700