Resolviendo ejercicios de factorización: Una forma muy sencilla

Resolviendo ejercicios de factorización: Una forma muy sencilla para ecuaciones cuadraticas

Ejemplo x ² + 5 x + 6

Esta ecuación cuadrática tiene un coeficiente principal de 1, por lo que este es el caso simple de factorizar. Para comenzar, necesito encontrar factores de c = 6 que sumen b = 5. Tengo dos opciones, porque 6 factores como el producto de 2 y 3 o como el producto de 1 y 6.

Ahora, porque estoy multiplicando a un positivo seis, entonces mis factores tienen que tener el mismo signo; ambos deben ser positivos o ambos deben ser negativos, porque así es como funcionan los negativos.

Comprobaré las sumas de los pares de factores potenciales para ver cuál funciona:

1 + 6 = 7

2 + 3 = 5

Como necesito mis factores para sumar más cinco, usaré los factores +2 y +3.

Debido a que el coeficiente principal es solo 1 , sé que el coeficiente principal de cada uno de esos binomios también debe haber sido solo 1 . Esto significa que el producto comenzó a parecerse a esto:

( x      ) ( x      )

Al final de cada paréntesis, vaya los números que se multiplican a +6 y se suman a +5. Esto significa que puedo terminar mi factorización conectando esos números a mis paréntesis, en cualquier orden:

( x + 2) ( x + 3)

Ejemplo 12x ³ + 6x ² + 18x.

En este punto, no debería ser necesario enumerar los factores de cada término. Debería poder determinar mentalmente el mayor factor común. Un buen procedimiento a seguir es pensar en los elementos individualmente.

En otras palabras, no intente obtener todos los factores comunes a la vez, primero obtenga el número y luego cada letra involucrada. Por ejemplo, 6 es un factor de 12, 6 y 18, y x es un factor de cada término. Por lo tanto, 12x ³ + 6x ² + 18x = 6x (2x ² + x + 3). Multiplicando, obtenemos el original y podemos ver que los términos entre paréntesis no tienen otro factor común, por lo que sabemos que la solución es correcta.

Factorización por Agrupación

Objetivos

Al completar esta sección, debería poder:

1. Factoriza expresiones cuando el factor común involucra más de un término.
2. Factorizar por agrupación.

Una extensión de las ideas presentadas en la sección anterior se aplica a un método de factorización llamado agrupación.

Primero debemos tener en cuenta que un factor común no necesita ser un solo término. Por ejemplo, en la expresión 2y (x+3) + 5(x+3) tenemos dos términos. Son 2y (x+3) y 5(x+3). En cada uno de estos términos tenemos un factor (x+3) que se compone de términos. Este factor (x+3) es un factor común.

A veces, cuando hay cuatro o más términos, debemos insertar un paso intermedio o dos para factorizar.

Solución

Primero tenga en cuenta que no los cuatro términos en la expresión tienen un factor común, pero que algunos de ellos sí. Por ejemplo, podemos factorizar 3 a partir de los dos primeros términos, dando 3 (ax+2y). Si factorizamos a partir de los dos términos restantes, obtenemos a (ax+ 2y). La expresión ahora es 3 (ax+2y) + a (ax+2y), y tenemos un factor común de (ax + 2y) y podemos factorizar como (ax+2y) (3+a). Multiplicando (ax+2y)(3+a), obtenemos la expresión original 3ax + 6y + a² x + 2ay y vemos que la factorización es correcta.

Este es un ejemplo de factorización por agrupación ya que «agrupamos» los términos de dos en dos.

Multiplique (x-y)(a+2) y vea si obtiene la expresión original. Nuevamente, multiplique como un cheque.

A veces, los términos primero deben reorganizarse antes de poder factorizar por agrupación.

Ejemplo 3ax + 2y + 3ay + 2x

Los primeros dos términos no tienen un factor común, pero el primero y el tercero sí, así que los reorganizaremos para colocar el tercer término después del primero. Siempre mire hacia adelante para ver el orden en que se pueden organizar los términos.

3ax + 2y + 3ay + 2x = 3ax + 3ay + 2x + 2y   

= 3a (x + y) + 2(y + x) 

= (3a + 2)(x + y) 

En todos los casos, es importante asegurarse de que los factores entre paréntesis sean exactamente iguales. Esto puede requerir factorizar un número o letra negativo.

Trinomiales de Factorización

Una gran cantidad de problemas futuros implicarán factorizar trinomios como productos de dos binomios. En el capítulo anterior aprendiste a multiplicar polinomios. Ahora deseamos ver el caso especial de multiplicar dos binomios y desarrollar un patrón para este tipo de multiplicación.

Ejemplo (2x + 3) (3x – 4)

(2x + 3) (3x – 4) = 2x(3x-4) + 3(3x-4)

= 6x ² -8x + 9x – 12

= 6x ² + x – 12

Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:

(2x)(3x)= 6x ²

4*3= 12

Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 3*3x + 2x*-4.

Ejemplo x² + 11x + 24

Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:

(x)(x)= x ²

3*8= 24

Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 8*x y 3*x.

Dando como factorización (x+3)(x+8)

Ejemplo x² + 11x + 24

Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:

(x)(x)= x ²

3*8= 24

Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: -8*x y -3*x.

Dando como factorización (x-3)(x-8)

Ejemplo x² – 5x – 24

Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:

(x)(x)= x ²

3*-8= -24

Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: -8*x y 3*x.

Dando como factorización (x+3)(x-8)

Los siguientes puntos ayudarán a la hora de factorizar trinomios:

1. Cuando el signo del tercer término es positivo, ambos signos en los factores deben ser iguales y deben ser como el signo del término medio.
2. Cuando el signo del último término es negativo, los signos en los factores deben ser diferentes, y el signo del más grande debe ser como el signo del término medio.

Después de hacer el conjunto de ejercicios anterior, ahora podemos probar realizar ejercicios más difíciles.

Ejemplo 6x² + 17x + 12

Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:

(2x)(3x)= 6x ²

3*4= 12

Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 2x*4 y 3*3x.

Dando como factorización (2x+3)(3x+4)

Ejemplo 6x² – 21x + 15

Solución

Primero debemos analizar el problema.

1. El último término es positivo, por lo que dos son signos similares.
2. El término medio es negativo, por lo que ambos signos serán negativos.
3. Los factores de 6×2 son x, 2x, 3x, 6x. Los factores de 15 son 1, 3, 5, 15.
4. Elimine como demasiado grande el producto de 15 con 2x, 3x o 6x. Prueba algunas combinaciones razonables.

Como la factorización es lo contrario a la multiplicación se debe encontrar un múltiplo que arroje como resulta el primer y último término tal como se puede apreciar a continuación:

(3x)(2x)= 6x ²

-3*-5= 15

Así mismo, asegurarnos que al sumar la multiplicación del resto de los valores puedan dar un resultado el término central, es decir: 3x*-5 y -3*2x.

Dando como factorización (3x-3)(2x-5)

Diferencias de dos cuadrados perfectos.

En esta sección deseamos examinar algunos casos especiales de factorización que ocurren a menudo en problemas. Si se reconocen estos casos especiales, la factorización se simplifica enormemente. El primer caso especial que discutiremos es la diferencia de dos cuadrados perfectos.

Recuerde que al multiplicar dos binomios por el patrón, el término medio proviene de la suma de dos productos. Por nuestra experiencia con los números, sabemos que la suma de dos números es cero solo si los dos números son negativos entre sí.

La fórmula para la multiplicación de diferencias de cuadrados perfectos es la siguiente:

(ax)² – (b)² = (ax-b)(ax+b)

Ejemplo 9x² – 16

Por lo que a=3 y b=4

Por lo tanto la factorización será la siguiente:

 (3x-4)(3x+4)

Ejemplo 4x² – 1

Por lo que a=2 y b=1

Por lo tanto la factorización será la siguiente:

(2x-1)(2x+1)

Ejemplo 25x² – 36

Por lo que a=5 y b=6

Por lo tanto la factorización será la siguiente:

(5x-6)(5x+6)