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Matematicas 2021

Ejercicios de progresiones

 En este escrito proveemos el término de progresión, los tipos básicos y el concepto general. Además, hablamos un poco de las progresiones aritméticas y geométricas (diferencia, razón y término general). Se integran ejemplos y inconvenientes resueltos de los conceptos observados.

 Primeras definiciones

 Una progresión o sucesión matemática es una sucesión ordenada de números que podría ser finita o infinita. A todos los números se le nombra término y se le representa por an, siendo n la postura del término en la sucesión.

 Ejemplos:

  • La progresión de los números impares es una sucesión infinita: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,… El primer término es a1=1 y el quinto término es a5=9.

 La progresión 1, 2, 3, 4 y 5 es finita (sólo consta de 5 términos). El segundo término es a2=2 y el cuarto es a4=4.

  Una progresión podría ser

 Creciente: si cada término es más grande o igual que el concepto que ocupa una postura anterior (an+1≥an).

  Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5,…

 Decreciente: si cada término es menor que el concepto que ocupa una postura anterior (an+1≤an).

  Ejemplo: 7, 5, 3, 1, -1,…

 Constante: si todos los términos son equivalentes

  Ejemplo: 1, 1, 1, 1, 1,…

 Alternada: si el símbolo de cada término es diferente del símbolo del término anterior.

  Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32,…

  Problema

  Establecer si las próximas progresiones son finitas o infinitas y si son crecientes, decrecientes, constantes o alternadas:

 0, 2, 4, 6, 8, 10,…

 3, 1, -1 y -3.

 1, -5, 10, -15, 20, -25,…

  Primera progresión es infinita y creciente.

  La segunda progresión es finita y decreciente, sin embargo no es alternada.

  La tercera progresión es infinita y alternada, empero no es creciente ni decreciente.

  Problema 2

  Deducir los próximos 2 términos que siguen en las próximas sucesiones infinitas. ¿Son crecientes o decrecientes?

 10, 20, 30, 40,…

 1, 2, 4, 8, 16, 32,…

 320, -160, 80, -40, 20,…

  La primera sucesión es la de los múltiplos de 10. El quinto término es a5=50 y el sexto es a6=60. Es una sucesión creciente.

  Segunda sucesión es la de las potencias de 2. Cada término se recibe multiplicando por 2 el concepto anterior. El séptimo término es a7=64 y el octavo es a8=128. Es una sucesión creciente.

  Cada término de la tercera sucesión se recibe dividiendo entre 2 el concepto anterior y cambiando su símbolo. El sexto término es a6=−10 y el séptimo es a7=5. La sucesión no es creciente ni decreciente, sino alternada.

  Término general

  El concepto general de una sucesión es la fórmula an que posibilita conocer cada término en funcionalidad de su postura n.

  Ejemplos:

 El concepto general de la progresión de los números impares (1, 3, 5, 7,…) es

  an=2⋅n−1

  Usamos el concepto general para calcular ciertos sus términos sustituyendo la postura n:

  a1=2⋅1−1=1

Por lo tanto:  

a2=2⋅2−1=3

  a3=2⋅3−1=5

  Problema

  Calcular los 4 primeros términos de las próximas progresiones desde sus términos globales:

 an=3n−1

  Progresión a:

 Primer término es a1=31−1=2

 Segundo término es a2=32−1=5

 Tercer término es a3=33−1=8

 Cuarto término es a4=34−1=11

  Es una sucesión creciente: 2, 5, 8, 11,…

  Progresión aritmética

  Una progresión es aritmética si cada término se recibe sumando un número constante (diferencia) al término anterior.

  Ejemplos:

 100, 105, 110, 115, 120, … es una sucesión aritmética cuya diferencia es d=5.

 -5, -3, -1, 1, 3 y 5 es una sucesión aritmética (finita) cuya diferencia es d=2.

 1, 4, 9, 16, 25, 36,… no es una sucesión aritmética pues, aun cuando el segundo término se recibe sumando 3 al primero, no pasa lo mismo con los próximos.

  El término general de una progresión aritmética es

  an=a1+d(n-1)

  Si la diferencia d de la progresión es un número positivo, la progresión es creciente. Si d es negativo, la progresión es decreciente.

  Problema

  Calcular los 3 términos siguientes de las sucesiones sabiendo que son aritméticas con diferencia d=6:

 0, 6, 12,…

 5, 11, 17,…

  Como la diferencia de las dos sucesiones es d=6d=6, cada término se recibe sumando 6 al término anterior.

  Tenemos que calcular los términos cuarto, quinto y sexto.

  Sucesión a: 0, 6, 12,…

  a4=a3+d

  a4=12+6

  a4=18

  a5=a4+d

  a5=18+6

  a5=24

  a6=a5+d

  a6=24+6

  a6=30

  Sucesión b: 5, 11, 17,…

  a4=a3+d

  a4=17+6

  a4=23

  a5=a4+d

  a5=23+6

  a5=29

  a6=a5+d

  a6=29+6

  a6=35

  Problema

  ¿Cuál de las próximas progresiones no es aritmética?

 23, 24, 25, 26,…

 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3,…

 0, 4, 16, 64,…

  En una progresión aritmética, la diferencia debería ser constante.

  La primera progresión es aritmética con diferencia d=1.

  La segunda progresión es aritmética con diferencia d=−1.

  La tercera progresión no es aritmética ya que el segundo término es el primer término más 4, sin embargo el tercer término es el segundo más 12 y el cuarto término es el tercero más 48.

  Progresión geométrica

  Una progresión es geométrica si cada término se recibe multiplicando un número constante (razón) por el concepto anterior.

  Ejemplos:

 1, 3, 9, 27, 81, … es una sucesión geométrica cuya razón es r=3r=3.

 6, 12, 24, 48, 96,… es una sucesión geométrica cuya razón es r=2.

 5, 25, 50, 150,… no es una sucesión geométrica pues, aun cuando el segundo término se recibe multiplicando por 5 al primero, no pasa lo mismo con los próximos.

  El término general de una progresión geométrica es

  an=a1*r^(n-1)

  Si el primer término de una progresión geométrica es positivo, entonces:

 Si el motivo r de la progresión es un número positivo más grande que 1, la progresión es creciente.

 Si r=1r=1, la progresión es constante.

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