Cuando nos preguntamos que son sucesiones cuadraticas la respuesta es una secuencia ordenada de números. A cada uno de los números se le denomina término y los mismos se conocen como an. Si hablamos del primer término se representa por a1, en cambio si hablamos del quinto término se representa por a5. Ejemplos: El primer término es a1=3 y el quinto término es a5=11.

Las sucesiones cuadráticas también llamadas secuencias cuadraticas se conocen como un conjunto de elementos ya sean ordenados de manera ascendente o descendente. A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición dependiendo del tipo de sucesión que se realice.

En una sucesión matemática la diferencia de dos números es una constante. Por ejemplo, la sucesión: 4,6,8 tendrá una diferencia constante de 2. El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente.

El presente artículo muestra sucesiones cuadráticas con respuesta. A continuación se pueden ver tres ejercicios de sucesiones cuadraticas que explican que son sucesiones:

Ejercicio 1 que son sucesiones: ¿Cuál es el siguiente número de la progresión?  2,3,6,11,18,27,?

Como se puede ver en los ejemplos de sucesiones cuadraticas 2,3,6,11,18,27,? la lógica con la que se trabaja en la misma es la siguiente:

• Del segundo valor al tercero se incrementa en 3
• Del tercer valor al cuarto se incrementa en 5
• Del cuarto valor al quinto se incrementa en 7
• Del quinto valor al sexto se incrementa en 9

Es decir que la relación entre un valor al otro es que existe un incremento mayor de 2. Lo que hace concluir que el siguiente valor de la sucesión será de un incremento de 11 dando como resultado 38.

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Ejercicio 2 que son sucesiones: ¿Cuál es el siguiente número de la progresión?  1, -2, 4, -8, 16, -32,?

En el siguiente problema de sucesiones cuadráticas se puede ver en la sucesión 1, -2, 4, -8, 16, -32,? la lógica con la que se trabaja en la misma es la siguiente:

• Para el segundo valor se resta en 3 el primer valor dando -2.
• Para el tercer valor se suma en 6 el segundo valor dando 4.
• Para el cuarto valor se resta en 12 el tercer valor dando -8.
• Para el quinto valor se suma en 24 el cuarto valor dando 16.
• Para el sexto valor se resta en 48 el quinto valor dando -32.

Es decir que la relación entre un valor al otro es que se duplica el valor y se cambia de signo a medida que avanza la sucesión. Lo que hace concluir que el siguiente valor de la sucesión será de un incremento de 96 dando como resultado 64.

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Ejercicio 3 que son sucesiones: ¿Cuál es el siguiente número de la progresión?  -5, 10, -15, 20, -25,?

Como se puede ver en la sucesión -5, 10, -15, 20, -25,?  la lógica con la que se trabaja en la misma es la siguiente:

• Para el segundo valor se presenta un número de 5 unidades más grande y con signo contrario.
• Para el tercer valor se presenta un número de 5 unidades más grande y con signo contrario.
• Para el cuarto valor se presenta un número de 5 unidades más grande y con signo contrario.
• Para el quinto valor se presenta un número de 5 unidades más grande y con signo contrario.

Es decir que la relación entre un valor al otro es un incremento en 5 y se cambia de signo a medida que avanza la sucesión. Lo que hace concluir que el siguiente valor de la sucesión será de un incremento de 5 dando como resultado 30.

En matemáticas, las secuencias de figuras  son una sucesión ordenada dentro de un grupo de figuras ya sea esta en forma ascendente o descendente. En las secuencias de figuras existe cierta relación entre las diferentes figuras que existe dentro de un grupo.  Las secuencias permiten analizar y articular un grupo de figuras complejas; al relacionarlas estas son más sencillas.

Una secuencia de figuras es un conjunto ordenado de elementos, donde cada uno ocupa una posición y que tiene relación con la primera gráfica. Los pasos para resolver secuencias de figuras son las siguientes:

• Observa a detalle la primera gráfica.
• Comparar el segundo y tercera gráfica con la primera y ver las diferencias.
• Anotar las diferencias entre la primera gráfica y las siguientes.

A continuación se puede ver tres ejercicios para pensar de secuencias de figuras:

Ejercicio 1 secuencias de figuras:

El tercer número de la primera figura fue obtenido sumando los dos primeros números que son 32+4= 36 y el resultado dividirlo entre el segundo número como se ve en esta operación   36/4=9. Por lo cual el tercer número será 9.

El tercer número de la segunda figura fue obtenido sumando los dos primeros números que son 60+12=72 y el resultado dividirlo entre el segundo número como se ve en esta operación   72/12=6. Por lo cual el tercer número será 6.

Finalmente, el tercer número de la tercera figura fue obtenido sumando los dos primeros números que son 30+10 = 40 y el resultado dividirlo entre el segundo número como se ve en esta operación   40/10=4. Por lo cual el tercer número será 4.

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Ejercicio 2 secuencias de figuras:

El tercer número de la primera figura fue obtenido dividiendo los dos primeros números que son 40/4= 10 y el resultado sumarlo al segundo número como se ve en esta operación   10+4=14. Por lo cual el tercer número será 14.

El tercer número de la segunda figura fue obtenido dividiendo los dos primeros números que son 60/2=30 y el resultado sumarlo al segundo número como se ve en esta operación   30+2=32. Por lo cual el tercer número será 32.

Finalmente, el tercer número de la tercera figura fue obtenido dividiendo los dos primeros números que son 30/5 = 6 y el resultado sumarlo al segundo número como se ve en esta operación   6+5=11. Por lo cual el tercer número será 11.

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Ejercicio 3 :

El tercer número de la primera figura fue obtenido dividiendo los dos primeros números que son 82/2=41 y el resultado sumarlo al segundo número como se ve en esta operación   41+2=43. Por lo cual el tercer número será 43.

El tercer número de la segunda figura fue obtenido dividiendo los dos primeros números que son 100/20=5 y el resultado sumarlo al segundo número como se ve en esta operación   5+20=25. Por lo cual el tercer número será 25.

Finalmente, el tercer número de la tercera figura fue obtenido dividiendo los dos primeros números que son 60/5=12 y el resultado sumarlo al segundo número como se ve en esta operación   12+5=17. Por lo cual el tercer número será 17.

Ejercicios de Progresiones aritméticas

Los ejercicios de progresiones aritméticas, son una sucesión en la que cualquier termino exceptuando el primero se puede obtener sumando al anterior un número o un valor que se conoce con el nombre de diferencia. Así tambien las progresiones aritméticas permiten encontrar cualquier valor, realizar la suma de varios términos, etc.

Ejercicios para las Progresiones Geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión de números, a los cuales los conocemos como términos. En la progresión geométrica cada termino se obtiene multiplicando por un valor que se conoce como término anterior a la razón. Con progresiones geométricas se puede encontrar el valor de cualquier termino, la suma de los términos; así como también la progresión geométrica infinita.

Progresiones . Una pelota se deja caer de una altura de 40 metros y cada vez rebota hasta una altura igual a una cuarta parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular el valor de la distancia total recorrida por la pelota hasta que teóricamente quede en reposo

Primero establecemos el tipo de progresiones (aritmética o geométrica). Cómo la diferencia entre el primer valor y el segundo valor responde a un producto, es un problema de progresión geométrica.

La razón para este ejercicio tendrá un valor de ¼.

r=        «1/4»

La pelota tiene dos recorridos, el primero es de descensos y el segundo de ascensos. En el caso del recorrido de descensos se analizan los siguientes aspectos:

Descensos

El primer descenso es de 40 metros, de donde es lanzada la pelota por lo tanto a1=40. El segundo descenso será de ¼ del descenso anterior y así sucesivamente; teniendo de esta forma la siguiente sucesión geométrica:

40, 40/4, 40/16,………..

Esta sucesión es infinita ya que continuara hasta que la pelota quede totalmente en reposo. Donde la fórmula de sucesiones infinitas es la siguiente:

S(Infinito)= a1/(1-r)

a1= 40

r  = 1 / 4

Reemplazando en los valores de sumas de sucesiones infinitas tendremos:

S(Infinito)= 40/(1-(1/4)) = 40/(3/4) = 160/3

Ascensos

El primer ascenso es de 40/4 metros, de donde es lanzada la pelota por lo tanto a1=40/4. El segundo ascenso será de ¼ del ascenso anterior y así sucesivamente; teniendo de esta forma la siguiente sucesión geométrica:

40/4, 40/16,………..

Esta sucesión es infinita ya que continuara hasta que la pelota quede totalmente en reposo. Donde la fórmula de sucesiones infinitas es la siguiente:

S(Infinito)= a1/(1-r)

a1= 40/4

r  = 1 / 4

Reemplazando en los valores de sumas de sucesiones infinitas tendremos:

S(Infinito)= (40/4)(1-(1/4)) = (40/4)(3/4) = 40/3

Posteriormente realizaremos la suma de los ascensos y de los descensos que se encuentran en fracciones:

160/3 + 40/3 = 200/3

Por lo tanto, la pelota realizará un recorrido de 200/3 desde su lanzamiento hasta que esta quede en reposo.

Problemas de progresiones aritméticas

Las progresiones aritméticas se dan cuando la diferencia entre cualquier par de términos sucesivos de la secuencia es constante. Esa diferencia se conoce cómo diferencia de la progresión aritmética.

Ejemplo: Una pelota rueda en un plano inclinado, partiendo del reposo, de forma que en el primer segundo recorre 4 cm, en el siguiente segundo 6 cm y en el siguiente segundo  8 cm y así sucesivamente. Hallar el tiempo que tardara en recorrer 238 cm.

Primero establecemos el tipo de progresión (aritmética o geométrica). Cómo la diferencia entre el primer valor y el segundo valor no responde a un producto, es un problema de progresión aritmética.

La progresión aritmética tiene el siguiente comportamiento:

4, 6, 8,__,__,__,__,

Las progresiones aritméticas tienen dos fórmulas:

Sn =n*(a1+an)/2

an=a1 + (n-1)d

De acuerdo al enunciado se tienen los siguientes valores:

Sumatoria de la progresión = Sn = 238

Número de datos = n = ?

Primer término = a1 = 4

Último término = an =

Cómo el primer término es 4 y el segundo es 6 entonces la diferencia es 2. Por lo tanto:

d=2

Reemplazando los valores en las fórmulas se tiene:

238 =n*(4+an)/2

an=4 + (n-1)2

Resolviendo las ecuaciones:

476 =n*(4+an)

an= 4 + 2n-2

Continuando con las operaciones obtenemos:

476 =4n+ n*an

an= 2 + 2n

Se reemplaza el an de la segunda ecuación en la primera ecuación, de donde obtenemos:

476 =4n+ n*(2 + 2n)

Multiplicando por n llegamos a:

476 =4n+ 2n + 2n²

476 =6n + 2n²

De donde nos quedara una ecuación cuadrática:

2n²+6n – 476 = 0

n² +3n – 238 = 0

Factorizando tenemos:

(n-14)(n+17)= 0

De la factorización se obtienen dos resultados:

n= 14

n= -17

Cómo no existe un tiempo negativo se descarta n=-17, quedando cómo resultado n=14. Lo que significa que en 14 segundos la pelota recorrerá 238 cm.

Ejercicio: La suma de progresión aritmética de tres números es 15 y la suma de sus cuadrados es 93. Hallar esos números

Primeramente se tienen que elegir tres valores. El valor del centro se llamara a. Por lo tanto los tres valores serán los siguientes:

a-d, a, a+d

La suma de los tres valores darán quince, quedando la expresión de la siguiente forma:

a-d + a + a+d = 15

Al sumar los tres valores, obtenemos el resultado de la variable a, la cual es la siguiente:

3a = 15                 a = 5

Ahora vemos la segunda parte del enunciado que nos dice que la suma de los tres cuadrados es 93, por lo que la ecuación quedara de la siguiente manera:

(a-d)² + a² + (a+d)² = 93

Remplazando el valor de a, llegamos a tener:

(5-d)² + 52 + (5+d)² = 93

Se resuelven las ecuaciones cuadráticas por lo que tendremos:

25-2*5d+ d² + 25 + 25+2*5d+ d² = 93

25+ d² + 25 + 25+ d² = 93

d² +   d² = 18

Finalmente, no da como resultado lo siguiente:

d² = 9

Al ser una ecuación cuadrática este tendrá dos resultados:

d=          3

d=          -3

Remplazando los resultados en las variables planteadas inicialmente tendremos dos progresiones para los dos valores de d:

a-d, a, a+d

Calculando con d=3 será:

2,5,8

Calculando con d=-3 será:

8,5,2

Secuencias Aritméticas

Una secuencia es un conjunto de cosas (generalmente números) que están en orden. Cada número en la secuencia se llama término (o, a veces, «elemento» o «miembro»), lea Secuencias y series para obtener más detalles.

En una secuencia aritmética, la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

En otras palabras, simplemente agregamos el mismo valor cada vez  infinitamente.

Ejemplo:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …

Esta secuencia tiene una diferencia de 3 entre cada número. El patrón continúa agregando 3 al último número cada vez, así:

En general, podríamos escribir una secuencia aritmética como esta:

{a, a + d, a + 2d, a + 3d, …}

dónde:

a es el primer término, y

d es la diferencia entre los términos (llamada «diferencia común» )

Ejemplo: (continuación)

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25…

Tiene:

a = 1 (el primer término)

d = 3 (la «diferencia común» entre términos)

Y obtenemos:

{a, a + d, a + 2d, a + 3d, …}

{1, 1 + 3, 1 + 2 × 3, 1 + 3 × 3.}

{1, 4, 7, 10, ..}

Regla

Podemos escribir una secuencia aritmética como regla:

X_n = a + d (n − 1)

(Usamos «n − 1» porque d no se usa en el primer término).

Ejemplo: escriba una regla y calcule el noveno término para esta secuencia aritmética:

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …

Esta secuencia tiene una diferencia de 5 entre cada número.

Los valores de a y d son:

a = 3 (el primer término)

d = 5 (la «diferencia común»)

Usando la regla de secuencia aritmética:

X_n = a + d (n − 1)

= 3 + 5 (n − 1)

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

Entonces el noveno término es:

X₉ = 5 × 9 – 2

= 43

¿Está bien? ¡Compruébalo por ti mismo!

Las secuencias aritméticas a veces se llaman progresiones aritméticas (AP)

Resolver de manera sencilla ejercicios de Problemas de progresión geométrica

En matemáticas, una progresión geométrica (secuencia) también conocida incorrectamente como una serie geométrica es una secuencia de números de tal manera que el cociente de cualquiera de los dos miembros sucesivos de la secuencia es una constante llamada razón común de la secuencia.

La progresión geométrica se puede escribir como:

ar ¹ , ar ² , ar ³ , …donde r ≠ 0 , r es la razón común y a es un factor de escala (también el primer término).

Ejemplos

Una progresión geométrica con relación común 2 y factor de escala 1 es 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Una secuencia geométrica con relación común 3 y factor de escala 4 es 4, 12, 36, 108, 324.

Una progresión geométrica con relación común -1 y factor de escala 5 es 5, -5, 5, -5, 5, -5,

Fórmulas

La fórmula para el enésimo término se puede definir como:

a_n = a _n-1 ⋅r

a_n = a ₁ ⋅r ^n-1

La fórmula para la proporción común es:

Si la proporción común es:

• Negativo, los resultados alternarán entre positivo y negativo.
  Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32 … – la razón común es -2 y el primer término es 1.
• Mayor que 1, habrá crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo).
  Ejemplo: 1, 5, 25, 125, 625 … – la razón común es 5.
• Menos de -1, habrá crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo y negativo).
  Ejemplo: 1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … – la razón común es -5.
• Entre 1 y -1, habrá una disminución exponencial hacia cero.
  Ejemplo: 4, 2, 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 … – la razón común es\ displaystyle \ frac {1} {2}214, -2, 1, -0.5, 0.25, -0.125, 0.0625 … – la razón común es \ displaystyle – \ frac {1} {2}-21.
• Cero, los resultados permanecerán en cero. Ejemplo : 4, 0, 0, 0, 0 … – la razón común es 0 y el primer término es 4.

Propiedades de progresión geométrica

a ² _k = a _k-1 ka _{k + 1}
a ₁ ⋅a _n = a ₂ ⋅a _n-1 = … = a _k ⋅a _{n-k + 1}

Fórmula para la suma de los primeros n números de una serie geométrica.

S_n = a₁*(rⁿ -1)/(r-1)

Problemas de progresión geométrica

Problema 1.

¿Es la secuencia 2, 4, 6, 8… una progresión geométrica?

Solución: No, no lo es. (2, 4, 8 es una progresión geométrica)

Problema 2

Si 2, 4, 8… forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el décimo término?

Solución: podemos usar la fórmula a_n = a₁ ⋅ r ^n-1

a₁₀ = 2⋅2 ^10-1 = 2⋅512 = 1024

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Problema 3

Encuentre el factor de escala y la razón de comando de una progresión geométrica si

a₅ – a₁ = 15

a₄ – a₂ = 6

Solución: hay dos progresiones geométricas. El primero tiene un factor de escala 1 y relación común = 2, la segunda decisión es -16, ½

Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una secuencia de números de tal manera que la diferencia de cualquiera de los dos miembros sucesivos es una constante.

Una secuencia de números se llama progresión aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. En términos simples, significa que el siguiente número de la serie se calcula agregando un número fijo al número anterior de la serie. Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 10 es un progresión aritmética porque la diferencia entre dos términos consecutivos en la serie (diferencia común) es la misma (4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2).

Hecho sobre la progresión aritmética:

1. Término inicial:en una progresión aritmética, el primer número de la serie se llama término inicial.
2. Diferencia común:el valor por el cual los términos consecutivos aumentan o disminuyen se denomina diferencia común.
3. El comportamiento de la progresión aritmética depende de la diferencia común d. Si la diferencia común es: positiva, entonces los miembros (términos) crecerán hacia el infinito positivo o negativo, entonces los miembros (términos) crecerán hacia el infinito negativo.

Fórmula del ^enésimo término de un AP:

Si ‘a’ es el término inicial y ‘d’ es la diferencia común, la fórmula explícita es la fórmula de la suma del ^enésimo término de AP:

Ejemplo, la secuencia 1, 2, 3, 4,… es una progresión aritmética con diferencia común 1.

 Ejemplo: la secuencia 3,5,7,9,11,…es una progresión aritmética con diferencia común 2.

 Ejemplo La secuencia 20,10,0,-10,-20,-30,…es una progresión aritmética con diferencia común  -10.

Notación

Denotamos por d la diferencia común.

Por un_n denotamos la N término-ésima de una progresión aritmética.

Por S _n denotamos la suma de los primeros n elementos de una serie aritmética.
Serie aritmética significa la suma de los elementos de una progresión aritmética.

Propiedades

a ₁ + a _n = a ₂ + a _n-1 = … = a _k + a _{n-k + 1}

y

a _n = ½ (a _n-1 + a _{n + 1} )

Muestra: que 1, 11, 21, 31, 41, 51… sea una progresión aritmética.

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21

y
11 = (21 + 1) / 2

21 = (31 + 11) / 2

Si el término inicial de una progresión aritmética es un ₁ y la diferencia común de los miembros sucesivos es d, entonces el n- ésimo término de la secuencia está dada por

a_n = a ₁ + (n – 1) d, n = 1, 2, …

La suma S de los primeros n números de una progresión aritmética está dada por la fórmula:

S = ½ (a ₁ + a _n )*n donde a ₁ es el primer término y a _n el último.

S = ½ (2a ₁ + d (n-1))* n

Problemas de progresión aritmética

1 ¿Es la fila 1,11,21,31 una progresión aritmética?

Solución: Sí, es una progresión aritmética. Su primer término es 1 y la diferencia común es 10.

2 Busca la suma de los primeros 10 números de esta serie aritmética: 1, 11, 21, 31…

Solución: podemos usar esta fórmula S = ¹/₂(2a₁+d (n-1)) n

S = ¹/₂ *(2*1 + 10 (10-1)) 10 = 5 (2 + 90) = 5*92 = 460

Progresión geométrica

Una secuencia geométrica es una secuencia tal que cualquier elemento después del primero se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante llamada razón común que se denota por r. La razón común (r) se obtiene dividiendo cualquier término por el término anterior, es decir,

r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = a_n / a_(n-1)

La secuencia geométrica a veces se llama progresión geométrica o GP, para abreviar.

Por ejemplo, la secuencia 1, 3, 9, 27, 81 es una secuencia geométrica. Tenga en cuenta que después del primer término, el siguiente término se obtiene multiplicando el elemento anterior por 3.

La secuencia geométrica tiene su formación de secuencia: a₁, a₁*r, a₁*r², a₁*r^n-1

Para encontrar el enésimo término de una secuencia geométrica, usamos la fórmula:

a_n = a₁*r^n-1

Suma de términos en una progresión geométrica

Encontrar la suma de términos en una progresión geométrica se obtiene fácilmente aplicando las fórmulas:

Enésima suma parcial de una secuencia geométrica

S_n = a₁*(rⁿ -1)/(r-1)

r es diferente de 1

Ejemplos de problemas

Escribe un término específico en una progresión geométrica

Pregunta

Escriba el octavo término en la progresión geométrica 1, 3, 9, …

Responder

a₁ = 1

a₂ = 3

a₃ = 9

n=8

r = a₂/a₁ = 3/1 = 3

a₈ = a₁*r^8-1

= (1)(3)⁷

 a₈ = 2187

 Pregunta

Encuentre el número de términos en la progresión geométrica 6, 12, 24, …, para que la suma de  1536

S_n = a₁*(rⁿ -1)/(r-1)

42 = 6*(2^n-1-1)/2-1

n = 3