Progresiones . Una pelota se deja caer de una altura de 40 metros y cada vez rebota hasta una altura igual a una cuarta parte de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular el valor de la distancia total recorrida por la pelota hasta que teóricamente quede en reposo
Primero establecemos el tipo de progresiones (aritmética o geométrica). Cómo la diferencia entre el primer valor y el segundo valor responde a un producto, es un problema de progresión geométrica.
La razón para este ejercicio tendrá un valor de ¼.
r= «1/4»
La pelota tiene dos recorridos, el primero es de descensos y el segundo de ascensos. En el caso del recorrido de descensos se analizan los siguientes aspectos:
Descensos
El primer descenso es de 40 metros, de donde es lanzada la pelota por lo tanto a1=40. El segundo descenso será de ¼ del descenso anterior y así sucesivamente; teniendo de esta forma la siguiente sucesión geométrica:
40, 40/4, 40/16,………..
Esta sucesión es infinita ya que continuara hasta que la pelota quede totalmente en reposo. Donde la fórmula de sucesiones infinitas es la siguiente:
S(Infinito)= a1/(1-r)
a1= 40
r = 1 / 4
Reemplazando en los valores de sumas de sucesiones infinitas tendremos:
S(Infinito)= 40/(1-(1/4)) = 40/(3/4) = 160/3
Ascensos
El primer ascenso es de 40/4 metros, de donde es lanzada la pelota por lo tanto a1=40/4. El segundo ascenso será de ¼ del ascenso anterior y así sucesivamente; teniendo de esta forma la siguiente sucesión geométrica:
40/4, 40/16,………..
Esta sucesión es infinita ya que continuara hasta que la pelota quede totalmente en reposo. Donde la fórmula de sucesiones infinitas es la siguiente:
S(Infinito)= a1/(1-r)
a1= 40/4
r = 1 / 4
Reemplazando en los valores de sumas de sucesiones infinitas tendremos:
S(Infinito)= (40/4)(1-(1/4)) = (40/4)(3/4) = 40/3
Posteriormente realizaremos la suma de los ascensos y de los descensos que se encuentran en fracciones:
160/3 + 40/3 = 200/3
Por lo tanto, la pelota realizará un recorrido de 200/3 desde su lanzamiento hasta que esta quede en reposo.