Resolver de manera sencilla ejercicios de Problemas de progresión geométrica
En matemáticas, una progresión geométrica (secuencia) también conocida incorrectamente como una serie geométrica es una secuencia de números de tal manera que el cociente de cualquiera de los dos miembros sucesivos de la secuencia es una constante llamada razón común de la secuencia.
La progresión geométrica se puede escribir como:
ar 1 , ar 2 , ar 3 , …donde r ≠ 0 , r es la razón común y a es un factor de escala (también el primer término).
Ejemplos
Una progresión geométrica con relación común 2 y factor de escala 1 es 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Una secuencia geométrica con relación común 3 y factor de escala 4 es 4, 12, 36, 108, 324.
Una progresión geométrica con relación común -1 y factor de escala 5 es 5, -5, 5, -5, 5, -5,
Fórmulas
La fórmula para el enésimo término se puede definir como:
an = a n-1 ⋅r
an = a 1 ⋅r n-1
La fórmula para la proporción común es:
| r = |
|
Si la proporción común es:
- Negativo, los resultados alternarán entre positivo y negativo.
Ejemplo: 1, -2, 4, -8, 16, -32 … – la razón común es -2 y el primer término es 1. - Mayor que 1, habrá crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo).
Ejemplo: 1, 5, 25, 125, 625 … – la razón común es 5. - Menos de -1, habrá crecimiento exponencial hacia el infinito (positivo y negativo).
Ejemplo: 1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … – la razón común es -5. - Entre 1 y -1, habrá una disminución exponencial hacia cero.
Ejemplo: 4, 2, 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625 … – la razón común es\ displaystyle \ frac {1} {2}214, -2, 1, -0.5, 0.25, -0.125, 0.0625 … – la razón común es \ displaystyle – \ frac {1} {2}-21. - Cero, los resultados permanecerán en cero. Ejemplo : 4, 0, 0, 0, 0 … – la razón común es 0 y el primer término es 4.
Propiedades de progresión geométrica
a 2 k = a k-1 ka k + 1
a 1 ⋅a n = a 2 ⋅a n-1 = … = a k ⋅a n-k + 1
Fórmula para la suma de los primeros n números de una serie geométrica.
Sn = a1*(rn -1)/(r-1)
Problemas de progresión geométrica
Problema 1.
¿Es la secuencia 2, 4, 6, 8… una progresión geométrica?
Solución: No, no lo es. (2, 4, 8 es una progresión geométrica)
Problema 2
Si 2, 4, 8… forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el décimo término?
Solución: podemos usar la fórmula an = a1 ⋅ r n-1
a10 = 2⋅2 10-1 = 2⋅512 = 1024
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Problema 3
Encuentre el factor de escala y la razón de comando de una progresión geométrica si
a5 – a1 = 15
a4 – a2 = 6
Solución: hay dos progresiones geométricas. El primero tiene un factor de escala 1 y relación común = 2, la segunda decisión es -16, ½