Ejemplos de progresiones aritméticas
Resolviendo ejercicios de sumas de secuencias aritméticas. A continuación se presentan algunos ejemplos de progresiones aritméticas:
Ejemplo 1 Resolviendo ejercicios de sumas de secuencias aritméticas: ¿Cuál es la suma de los primeros dieciséis términos de la secuencia aritmética 1, 5, 9, 13, …?
Los valores de a, d y n son:
a = 1 (el primer término)
d = 4 (la «diferencia común» entre los términos)
n = 16 (cuántos términos para sumar)
Use la fórmula Sn = n / 2 (2a + (n – 1) d)
Por lo tanto, S16 = 16/2 (2 × 1 + 15 × 4)) = 8 (2 + 60) = 8 × 62 = 496
Ejemplo 2: ¿Cuál es la suma de los primeros treinta términos de la secuencia aritmética 50, 45, 40, 35, …?
Los valores de a, d y n son:
a = 50 (el primer término)
d = -5 (la «diferencia común» entre los términos)
n = 30 (cómo muchos términos para sumar)
Use la fórmula Sn = n / 2 (2a + (n – 1) d)
= 30/2 (2*50 + (30- 1)*-5)
Ejemplo 3: ¿Cuál es la suma de los términos undécimo a vigésimo (inclusive) de la secuencia aritmética 7, 12, 17, 22, …?
Los valores de a y d:
a = 7 (el primer término)
d = 5 (la «diferencia común» entre los términos)
Para encontrar la suma de los términos undécimo a vigésimo restamos la suma de los primeros diez términos de la suma de los primeros 20 términos
Por lo tanto, la suma de los términos undécimo a vigésimo = 1,090 – 295 = 79
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Ejemplo 4 Resolviendo ejercicios de sumas de secuencias aritméticas: El undécimo término de una secuencia aritmética es 30 y la suma de los primeros once términos es 55. ¿Cuál es la diferencia común?
Sea el primer término ay la diferencia común d
Use la fórmula para el enésimo término: x n = a + d (n – 1)
El undécimo término = 30 ⇒ X11 = a+d (11-1) = 30 ⇒ a+10d=30 (1)
Restar la ecuación (2) de la ecuación (1)
a + 10d = 30
a + 5d = 5
============ Restar
5d = 25
d=5
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Ejemplo 5 Resolviendo ejercicios de sumas de secuencias aritméticas: ¿Cuántos términos de la secuencia aritmética 2, 8, 14, 20,… se requieren para dar una suma de 660?
Conocemos los valores de a y d:
a = 2 (el primer término)
d = 6 (la «diferencia común» entre términos)
También conocemos la suma de n términos
S n = 660
Necesitamos encontrar el valor de n.
⇒ n (3n – 1) = 660
⇒ 3n 2 – n = 660
⇒ 3n 2 – n – 660 = 0
Esto tiene como factores:
(n – 15) (3n + 44) = 0
Dado que n debe ser un número entero positivo, es la única respuesta posible es n = 15