Permutación versus combinación
Permutación: conjunto de objetos en los que la posición (orden) es importante.
Para una permutación, el trío de Juan, Alvin y Josie es DIFERENTE de Juan, Josie y Alvin.
Es la elección de r cosas que quieres de un conjunto de n cosas sin reemplazo y donde las cuestiones de orden
nPr = n!/r!(n-r)!
Combinación: un conjunto de objetos en los que la posición (u orden) NO es importante.
Para una combinación, el trío de Juan, Alvin y Josie es LO MISMO QUE Juan, Josie y Alvin.
Es la elección de r cosas que quieres de un conjunto de n cosas sin reemplazo y donde el orden, no importa
nCr = n!/r!(n-r)!
Ejemplo 1:
Evaluar 7 C 2
7C2 = 7!/2!(7-2)! = 7*6*5*4*3*2*1/2*1(5*4*3*2*1)=.7*6/2)= 42/2= 21
Observe cómo se produce la cancelación, dejando solo 2 de los términos factoriales en el numerador. Está surgiendo un patrón al encontrar una combinación como la que se ve en este problema, el segundo valor (2) le dirá cuántos términos factoriales usar en el numerador, y el denominador será simplemente el factorial del segundo valor.
Ejemplo 2:
¿Cuál es el número total de posibles arreglos de 4 letras de las letras c, a, t, s, si cada letra se usa solo una vez en cada arreglo?
Esta es una situación de permutación.
4P4 = 4*3*2*1 = 24
4P4 = 4!/(4-4) !=4*3*2*1/1 = 24
Ejemplo 3:
Hay 12 perros y 14 gatos en un refugio. Encuentre la cantidad de formas en que el refugio puede seleccionar tres de estos animales para que aparezcan en una foto publicitaria si quieren dos perros y un gato. El orden no es importante en este problema.
12C2 * 14C1 = (12*11/2)*(14/1) = 66*14 = 924
Ejemplo 4:
¿De cuántas maneras puede un entrenador elegir tres nadadores entre cinco nadadores?
Hay 5 nadadores para tomar 3 a la vez.
Usando la fórmula:
C(n.r) = P(n.r)/r! = n!/ (n-r)! *r!
C(5.3) = P(5.3)/3! = 5*4*3/3*2*1 = 10
El entrenador puede elegir a los nadadores de 10 maneras.
Ejemplo 5:
Seis amigos quieren jugar suficientes juegos de ajedrez para asegurarse de que todos jueguen con los demás. ¿Cuántos juegos tendrán que jugar?
Hay 6 jugadores para tomar 2 a la vez.
Usando la fórmula:
C(6.2) = P(6,2)/2! = 6*5/2*1 = 15
Tendrán que jugar 15 juegos.
Ejemplo:
En una lotería, cada boleto tiene 5 números de un dígito 0-9.
a) Usted gana si su boleto tiene los dígitos en cualquier orden. ¿Cuáles son tus cambios para ganar?
b) Ganaría solo si su boleto tiene los dígitos en el orden requerido. ¿Cuáles son tus posibilidades de ganar?
Hay 10 dígitos para tomar 5 a la vez.
Usando la fórmula:
C(10.5) = P(10,5)/5! = 10*9*8*7*6/5! = 252
Las posibilidades de ganar son 1 de 252.
Dado que el orden importa, deberíamos usar permutación en lugar de combinación.
P (10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30240
Las posibilidades de ganar son 1 de 30240.