Problemas de progresiones aritméticas
Las progresiones aritméticas se dan cuando la diferencia entre cualquier par de términos sucesivos de la secuencia es constante. Esa diferencia se conoce cómo diferencia de la progresión aritmética.
Ejemplo: Una pelota rueda en un plano inclinado, partiendo del reposo, de forma que en el primer segundo recorre 4 cm, en el siguiente segundo 6 cm y en el siguiente segundo 8 cm y así sucesivamente. Hallar el tiempo que tardara en recorrer 238 cm.
Primero establecemos el tipo de progresión (aritmética o geométrica). Cómo la diferencia entre el primer valor y el segundo valor no responde a un producto, es un problema de progresión aritmética.
La progresión aritmética tiene el siguiente comportamiento:
4, 6, 8,__,__,__,__,
Las progresiones aritméticas tienen dos fórmulas:
Sn =n*(a1+an)/2
an=a1 + (n-1)d
De acuerdo al enunciado se tienen los siguientes valores:
Sumatoria de la progresión = Sn = 238
Número de datos = n = ?
Primer término = a1 = 4
Último término = an =
Cómo el primer término es 4 y el segundo es 6 entonces la diferencia es 2. Por lo tanto:
d=2
Reemplazando los valores en las fórmulas se tiene:
238 =n*(4+an)/2
an=4 + (n-1)2
Resolviendo las ecuaciones:
476 =n*(4+an)
an= 4 + 2n-2
Continuando con las operaciones obtenemos:
476 =4n+ n*an
an= 2 + 2n
Se reemplaza el an de la segunda ecuación en la primera ecuación, de donde obtenemos:
476 =4n+ n*(2 + 2n)
Multiplicando por n llegamos a:
476 =4n+ 2n + 2n2
476 =6n + 2n2
De donde nos quedara una ecuación cuadrática:
2n2+6n – 476 = 0
n2 +3n – 238 = 0
Factorizando tenemos:
(n-14)(n+17)= 0
De la factorización se obtienen dos resultados:
n= 14
n= -17
Cómo no existe un tiempo negativo se descarta n=-17, quedando cómo resultado n=14. Lo que significa que en 14 segundos la pelota recorrerá 238 cm.