Ejemplos de progresiones aritméticas
A continuación se presentan algunos ejemplos de progresiones aritméticas:
Ejemplo 1: El primer término de una secuencia aritmética es 4 y el décimo término es 67. ¿Cuál es la diferencia común en este ejemplo de progresiones aritméticas?
Sea el primer término a y la diferencia común d
Use la fórmula para el enésimo término: Xn = a + d (n – 1)
El primer término = 4 ⇒ a = 4 (1)
En en caso del décimo término = 67 ⇒ X 10 = a + d (10 – 1) = 67 ⇒ a + 9d = 67 (2)
Sustituya a = 4 de (1) a (2)
⇒ 4 + 9d = 67
⇒ 9d = 63
⇒ d = 63 ÷ 9 = 7
La diferencia común es 7
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Ejemplo 2 : ¿Cuál es el trigésimo segundo término de la secuencia aritmética -12, -7, -2, 3, … en este ejemplo de progresiones aritméticas?
Esta secuencia tiene una diferencia de 5 entre cada par de números.
Los valores de a y d son:
a = -12 (el primer término)
d = 5 (la «diferencia común»)
La regla puede calcularse:
Xn = a + d (n – 1)
= -12 + 5 (n – 1)
= -12 + 5n – 5= 5n – 17
Entonces, el término 32 es:
X32 = 5 × 32 – 17 = 160 – 17 = 143
Ahora se pueden apreciar otros ejemplos de progresiones aritméticas:
Ejemplo 3: ¿Cuál es el quincuagésimo término de la secuencia aritmética 3, 7, 11, 15, …?
Esta secuencia tiene una diferencia de 4 entre cada par de números.
Los valores de a y d son:
a = 3 (el primer término)
d = 4 (la «diferencia común»)
La regla se puede calcular:
Xn = a + d (n-1)
= 3 + 4 (n- 1)
= 3 + 4n – 4
= 4n – 1
Entonces, el término 50 es:
X50 = 4 × 50 – 1 = 200 – 1 = 199
VER EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL
Ejemplo 4: ¿Cuál es el vigésimo término de la secuencia aritmética 21, 18, 15, 12, …?
Esta secuencia es descendente, por lo que tiene una diferencia de -3 entre cada par de números.
Los valores de a y d son:
a = 21 (el primer término)
d = -3 (la «diferencia común»)
La regla se puede calcular:
Xn = a + d (n-1)
=21 + – 3 (n-1)
Por lo que da 24 – 3n
Entonces, el vigésimo término es:
X20 = 24 – 3 × 20 = 24 – 60 = -36
VER EJERCICIOS DE MATEMATICAS DE TODO TIPO
Ejemplo 5: El quinto término de una secuencia aritmética es 11 y el décimo término es 41. ¿Cuál es el primer término?
Sea el primer término ay la diferencia común d
Use la fórmula para el enésimo término: Xn = a + d (n: minu 1)
El quinto término = 11 ⇒ X5 = a + d (5 – 1) = 11 ⇒ a + 4d = 11 (1)
En el décimo término = 41 ⇒ X10 = a + d (10 – 1) = 41 ⇒ a + 9d = 41 (2)
Restar (1) de (2)
a + 9d = 41
a + 4d = 11
============ Restar
5d = 30
Entonces d = 30 ÷ 5 = 6
Sustituir d = 6 en (1) ⇒ a + 4 × 6 = 11 ⇒ a + 24 = 11 ⇒ a = -13
El primer término es -13