Categoría: Determinante

Definición Algebra lineal

El algebra lineal es una parte de las matemáticas donde se analizan diferentes conceptos; tales como vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Cuando hablamos de algebra lineal siempre hablamos de matrices. Una matriz es una tabla cuadrada o en forma de un rectángulo donde existe una serie de datos; ya sean estos números o letras los mismos que están  ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

Algebra lineal: Determinantes

Una parte importante de los ejercicios de algebra lineal son las determinantes. Cualquier determinante de una matriz independientemente de su tamaño pero que sea cuadratica es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

La determinante se abrevia escribiendo det(A), det(B), etc. Una vez que se hicieron las multiplicaciones de ambas diagonales, la determinante de A se puede obtener al sumar todos los diferentes productos de la diagonal principal como de la secundaria de la matriz.

La determinante de una matriz permite resolver diferentes sistemas de ecuaciones lineales independiente del tamaño que estos tuvieran. Por ejemplo a través de la matriz inversa. En el caso de que se diera que la determinante de la matriz de como resultado 0 significará que la matriz no tiene solución. Tampoco es posible calcular una determinante si la matriz no es cuadrada o cuadrática. A continuación se pueden apreciar ejercicios resueltos de matrices cuadráticas de diferentes tamaños:  

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Para calcular determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el mismo número de filas y columnas. En el caso de una determinante de 3×3 se resuelve aplicando la Regla de Sarrus que establece que para calcular la determinante se debe sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y restar a las mismas el producto de sus diagonales paralelas. A continuación se puede ver una gráfica que muestra el producto de las diagonales.

A continuación podemos apreciar tres ejercicios resueltos de determinantes de tamaño 3×3 por la Regla de Sarrus:

Ejercicio 1 Calcular determinante:

Para poder calcular determinante de la matriz por la Regla de Sarrus, se necesita  inicialmente colocar las dos primeras columnas en el lado derecho de la matriz y sumar el producto de los elementos de la diagonal y de sus diagonales paralelas obteniendo de esta manera la siguiente ecuación:

(7*6*7 + 5*1*3 + 4*5*4) – (4*6*3 + 7*1*4 + 5*5*7) =

Para conocer a detalle las multiplicaciones a realizar ver la gráfica inicial del presente artículo. Ahora realizaremos operaciones, buscando encontrar el valor del determinante:

(294 + 15 + 80) – (72 + 28 + 175) =

(389) – (275) =

Por lo que el valor de la determinante será de:

Determinante  =  114

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Ejercicio 2 Calcular determinante:

Para poder calcular determinante de la matriz por la Regla de Sarrus, se necesita  inicialmente colocar las dos primeras columnas en el lado derecho de la matriz y sumar el producto de los elementos de la diagonal y de sus diagonales paralelas obteniendo de esta manera la siguiente ecuación:

(2*4*6 + 4*4*11 + 7*6*3) – (7*4*11 + 2*4*3 + 4*6*6) =

Para conocer a detalle las multiplicaciones a realizar ver la gráfica inicial del presente artículo. Ahora realizaremos operaciones, buscando encontrar el valor del determinante:

(48 + 176 + 126) – (308 + 24 + 144) =

(350) – (476) =

Por lo que el valor de la determinante será de:

Determinante  =  -126

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Ejercicio 3 Hallar el valor de la determinante:

Para poder calcular determinante de la matriz por la Regla de Sarrus, se necesita  inicialmente colocar las dos primeras columnas en el lado derecho de la matriz y sumar el producto de los elementos de la diagonal y de sus diagonales paralelas obteniendo de esta manera la siguiente ecuación:

(12*9*3 + 2*3*3 + 9*7*4) – (9*9*3 + 12*3*4 + 2*7*3) =

Para conocer a detalle las multiplicaciones a realizar ver la gráfica inicial del presente artículo. Ahora realizaremos operaciones, buscando encontrar el valor del determinante:

(324 + 18 + 252) – (243 + 144 + 42) =

(594) – (429) =

Por lo que el valor de la determinante será de:

Determinante  =  165

La determinante de una matriz es la relación existente de sus números. Las determinantes permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Para poder calcular el determinante de una matriz de dimensión 2×2 se deberá multiplicar la diagonal  de la izquierda y restar la diagonal de la derecha de  esa forma se podrá obtener el resultado. Solamente tienen determinantes las matrices cuadradas; es decir 2x2o 3×3. Por ejemplo la matriz de 3×2 no tiene el mismo número de filas que de columnas, no se puede calcular su determinante. A continuación se puede ver la resolución de tres ejercicios de determinantes 2×2:

Ejercicio 1 determinante de una matriz: Calcular el valor de la siguiente determinante.

Para calcular el valor de la determinante de este arreglo de numeros de 2×2 multiplicamos la diagonal izquierda de la matriz es decir 9*14= 126 y multiplicamos la diagonal derecha de la matriz lo que significa 4*3=12; finalmente restamos ambos términos  y obtendremos el resultado de la determinante:

126-12 = 114

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Ejercicio 2 determinante de una matriz: Calcular el valor de la siguiente determinante.

Para calcular el valor de la determinante de este arreglo de números de 2×2 multiplicamos la diagonal izquierda de la matriz es decir 6*13= 78 y multiplicamos la diagonal derecha de la matriz lo que significa 7*2=14; finalmente restamos ambos términos  y obtendremos el resultado de la determinante:

78-14 = 64

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Ejercicio 3: Calcular el valor de la siguiente determinante.

Para calcular el valor de la determinante de la matriz de 2×2 multiplicamos la diagonal izquierda es decir 11*20= 220 y multiplicamos la diagonal derecha de la matriz lo que significa 22*7=154; finalmente restamos ambos términos  y obtendremos el resultado de la determinante como se ve a continuación:

220-154 = 66

La determinante de una matriz es la relación existente de sus números. Las determinantes permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Para poder calcular el determinante de una matriz de dimensión 2×2 se deberá multiplicar la diagonal  de la izquierda y restar la diagonal de la derecha de  esa forma se podrá obtener el resultado. Solamente tienen determinantes las matrices cuadradas; es decir 2x2o 3×3. Por ejemplo la matriz de 3×2 no tiene el mismo número de filas que de columnas, no se puede calcular su determinante. A continuación se puede ver la resolución de tres ejercicios de determinantes 2×2:

Ejercicio 1 determinante de una matriz: Calcular el valor de X de la siguiente determinante.

Para calcular el valor de X de una matriz de 2×2 multiplicamos la diagonal izquierda de la matriz es decir 7*X= 7X y multiplicamos la diagonal derecha de la matriz lo que significa 4*3=12; finalmente restamos ambos términos  e igualamos al valor de la matriz por lo que llegaremos a la siguiente ecuación:

7X-12 = 30

Ahora procederemos a determinar X realizando los siguientes cálculos:

7X = 30 + 12

7X = 42

Por lo que el resultado buscado de X es igual a 6.

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Ejercicio 2 determinante de una matriz: Calcular el valor de X de la siguiente determinante.

Para calcular el valor de X de una matriz de 2×2 multiplicamos la diagonal izquierda de la matriz es decir X*11= 11X y multiplicamos la diagonal derecha de la matriz lo que significa 8*2=16; finalmente restamos ambos términos  e igualamos al valor de la matriz por lo que llegaremos a la siguiente ecuación:

11X-16 = 54

Ahora procederemos a determinar X realizando los siguientes cálculos:

11X = 54 + 16

11X = 70

Por lo que el resultado buscado de X es igual a 70/11.

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Ejercicio 3: Calcular el valor de X de la siguiente determinante.

Para calcular el valor de X de una matriz de 2×2 multiplicamos la diagonal izquierda de la matriz es decir 11*3= 33 y multiplicamos la diagonal derecha de la matriz lo que significa X*22=22X; finalmente restamos ambos términos  e igualamos al valor de la matriz por lo que llegaremos a la siguiente ecuación:

33 – 22X = 0

Ahora procederemos a determinar X realizando los siguientes cálculos:

33 = 22X + 0

33 = 22X

Por lo que el resultado buscado de X es igual a 33/22.