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Matematicas 2021

Permutaciones

permutaciones

Varias situaciones de posibilidad involucran diversos eventos. Una vez que uno de los eventos perjudica a otros, se denominan eventos dependientes. Ejemplificando, una vez que objetos son escogidos de una lista o conjunto y no son devueltos, la primera elección disminuye las posibilidades para futuras elecciones.

Hay dos formas para poder ordenar o combinar resultados de eventos dependientes. Las permutaciones son agrupaciones, en estas depende mucho el orden para obtener el resultado deseado. Las combinaciones son agrupaciones en las que el contenido importa empero el orden no.

Eventos Dependientes

2 eventos son dependientes si el estado original del caso cambia de un acontecimiento al otro, y esto altera la posibilidad del segundo acontecimiento.

Los eventos dependientes ocurren una vez que una acción remueve un resultado viable, y el resultado no es devuelto previo a que suceda una segunda acción.

A esto se le llama elección sin devolución

Una forma de saber si eventos son dependientes o independientes es hallar si un resultado eliminado es devuelto (haciéndolos independientes) o no devuelto (haciéndolos dependientes). Aquí hay ciertos ejemplos.

Situación                              

En una celebración, sacas 4 papelitos con nombres de invitados para conformar un equipo de 4 personas. ¿Cuál es la posibilidad de que Jorge, Luis, Alvaro y Maria quedarán en el mismo equipo?

Eventos

Sacar el nombre de Jorge

Sacar el nombre de Luis

Sacar el nombre de Alvaro

Sacar el nombre de Maria

Por qué los eventos son dependientes

Cuando sacas un nombre, no lo pones otra vez en el grupo de nombres de donde lo sacaste. Cada vez, hay un nombre menos en el espacio muestral, y (si el acontecimiento continúa ocurriendo) un nombre menos en el espacio de eventos. La posibilidad de que un acontecimiento suceda cambia con cada nueva

Maria tiene 8 pares de calcetines: 1 negro, 1 café, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy desea utilizar el par blanco, empero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo cual agarra un para al azar. Se fija en el caso de que no sea blanco sacara otro.

  1. A) Los eventos son dependientes, pues Maria no descarta ninguno de los resultados.
  2. B) Los eventos son dependientes, pues el resultado eliminado es devuelto luego de cada intento.
  3. C) Los eventos son dependientes, pues un resultado es eliminado en cada intento y no es devuelto.

Permutaciones y Combinaciones

Una cosa que entendemos sobre situaciones que involucran eventos dependientes es que una acción descarta resultados probables de actividades futuras. Hay otro componente fundamental que estima sobre los resultados de eventos dependientes: ¿Cómo permanecen organizados? ¿Debemos hacer una lista, anotando el orden en que ocurren, o solamente los amontonamos ligados ignorando el orden?

Considera los ejemplos:

Situación

En una celebración, sacas 4 papelitos con nombres de invitados para conformar un equipo de 4 personas. ¿Cuál es la posibilidad de que Jorge, Luis, Alvaro y Maria  quedarán en el mismo equipo?

Eventos

Sacar el nombre de Jorge

Sacar el nombre de Luis

Sacar el nombre de Alvaro

Sacar el nombre de Maria

¿Importa el orden?

El orden no importa. Aquellas 4 personas estarán en el mismo equipo de esta forma saques a Jorge, Luis, Alvaro y después Maria, o Luis, Alvaro y Maria y finalmente Jorge.

En situaciones que inventan conjuntos de objetos (como personas, canicas, o cartas), requerimos saber si su orden importa o no. De lo opuesto no tenemos la posibilidad de descubrir los espacios muestral y de eventos.

Estima el ejemplo del equipo. En el espacio muestral, el resultado Jorge, Luis, Alvaro y Maria es el mismo que el resultado Lusi, Maria, Jorge y Alvaro no hay diferencia entre los grupos creados, aun cuando los nombres de los miembros hayan sido mencionados en un orden diferente. Sin embargo, supongamos que la primera persona sacada debería ser la que lance un globo lleno de agua, la segunda tiene que atraparlo, la tercera es quien lo revienta y la cuarta es quien trata de llenar el agua en un vaso. Si Jorge es un lanzador horrible sin embargo Luis es bueno lanzando, podría ser mejor para los accesorios que saliera Luis, Maria, Jorge, Alvaro (para que Luis lance a Maria) que Jorge, Luis, Alvaro y Maria (Jorge lance a Luis). El orden importaría.

Una vez que formamos conjuntos en los cuales el orden no importa, los equipos se denominan combinaciones. Una vez que formamos conjuntos en los cuales el orden sí importa, los equipos se denominan permutaciones.

Tamaño de Muestra y el inicio Importante de Conteo

Como la muestra y la magnitud del acontecimiento es lo cual utilizamos para descubrir probabilidades, es eficaz saber exactamente cuántas combinaciones o permutaciones son probables. Esta es una manera de pensar en ello, utilizando el inicio Importante de Conteo, que plantea que el número de resultados en un lugar muestral es el producto del número de resultados para cada factor.

Empecemos con las permutaciones, una vez que el orden importa. Supongamos que poseemos n objetos de donde seleccionar (n canicas en la bolsa, o n invitados en una celebración, por ejemplo).

  • La primera sacada tiene una alternativa de n objetos
  • Para todos n objetos, hay n−1 posibilidades para la segunda sacada. Utilizando el inicio Importante de Conteo, es supone que hay n*(n−1) resultados para seleccionar 2 cosas.
  • Ahora, para aquellos n*(n−1) resultados, se puede tener una tercera alternativa de los n−2 objetos que restan. Utilizando otra vez el inicio Importante de Conteo, hay n* (n−1)*(n−2) resultados probables para 3 sacadas.

¿Ves a dónde va esto? Nota que el último componente resta uno menos que el número total de objetos elegidos. Para descubrir el número de posibilidades para sacar el k-ésimo objeto, multiplica los resultados anteriores por n−(k−1).  Otra forma de redactar n−(k−1) es n−k+1.

Permutaciones

Una vez que escogimos k de n objetos y el orden importa. El signo significa seguir de la misma forma. En esta situación, supone que se continúe multiplicando por el siguiente número completo menor, por n – k + 1.

Para las combinaciones, el orden no importa. ¿Cómo cambia esto el número de resultados? El número de permutaciones que se tornan la misma una vez que el orden por el momento no importa es el número de posibilidades diversas de reparar objetos en un conjunto.

Piensa en un conjunto de 3 letras. ABC. En una permutación, ABC y CAB son resultados diversos, empero en una combinación, dichos resultados son el mismo. ¿Cuántas modalidades diferentes hay de ordenar las letras A, B, y C? O sea, ¿cuántas permutaciones hay para este conjunto?

ABC     ACB

BAC     BCA

CAB     CBA

Hay 6 formas de ordenar estas letras, lo cual estamos realizando es encontrando el número de permutaciones de 3 objetos una vez que escogimos los 3 (n=3 y k=3). Entonces, utilizando la fórmula concedida arriba, hay 3*2*1=6 resultados. Que son los mismos que los resultados de la lista.

En el ejemplo de las canicas, teníamos 2 objetos en cada conjunto, entonces para cada par de canicas, había 2*1, o 2, formas de ordenarlas. Unicamente necesitábamos una para cada par, por lo cual el número de combinaciones era el número de permutaciones dividido entre 2. En el ejemplo de las letras, como hay 6 formas de ordenar 3 objetos, una vez que pudimos encontrar las combinaciones de 3 solamente necesitábamos una representativa para aquellas 6 maneras. Tenemos la posibilidad de dividir el número de permutaciones entre 6 y obtener el número de combinaciones.

 

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